Checkpoint 5.5.3

Cabos coaxiais usados para televisão a cabo tipicamente têm um núcleo metálico central de 0,20 \mathrm{~mm} de raio, rodeado por uma bainha metálica cilíndrica de 2,0 \mathrm{~mm} de raio. Os dois são separados por um espaçador de plástico. Se o efeito do espaçador puder ser ignorado (ou seja, assumindo que os dois condutores são separados por ar), qual é a capacitância de um cabo de 100 m de comprimento?

Passo 1

O enunciado descreve um cabo coaxial de comprimento L=100\\ \mathrm{m} com condutores cilíndricos concêntricos separados por ar. O raio do condutor interno é
a = 0,20\\ \mathrm{mm} = 2,0\times10^{-4}\\ \mathrm{m},
e o raio interno da bainha externa é
b = 2,0\\ \mathrm{mm} = 2,0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
O objetivo é achar a capacitância C do cabo, usando a fórmula do capacitor cilíndrico em vazio (ar).

Passo 2

Para um capacitor cilíndrico de raios a e b separados por meio de permissividade \varepsilon_0, a capacitância por unidade de comprimento é
C' = \frac{2\pi\,\varepsilon_0}{\ln\!\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr)},
onde \varepsilon_0 = 8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.

Passo 3

Calculamos a razão \tfrac{b}{a} e seu logaritmo natural:
\frac{b}{a} = \frac{2{,}0\times10^{-3}}{2{,}0\times10^{-4}} = 10, \qquad \ln\!\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr) = \ln(10) \approx 2{,}3026.

Passo 4

Substituindo em C':
C' = \frac{2\pi\times 8{,}854\times10^{-12}}{2{,}3026} \approx \frac{55{,}64\times10^{-12}}{2{,}3026} \approx 24{,}2\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.

Passo 5

A capacitância total do cabo de comprimento L é
C = C'\,L = \bigl(24{,}2\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}\bigr)\times 100\\ \mathrm{m} = 2{,}42\times10^{-9}\\ \mathrm{F}.

Resposta

A capacitância do cabo de 100\\ \mathrm{m} é aproximadamente
C \approx 2{,}4\\ \mathrm{nF}.

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