Checkpoint 5.5.2

O espaçamento das placas em um capacitor de placas paralelas típico é de cerca de 50 \mu \mathrm{~m}. (a) Qual é a área da placa em um capacitor de 1 \mu \mathrm{~F} ? (b) Dado que o campo elétrico no qual a ruptura elétrica ocorre no ar é de cerca de 3 \times 10^{6} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, qual é a carga máxima que este capacitor pode suportar? (c) A quantos elétrons esta carga corresponde? (A carga do elétron é e=1,6 \times 10^{-19} \mathrm{C}.)

Passo 1

O enunciado trata de um capacitor de placas paralelas com espaçamento d=50\,\mu\mathrm{m} e capacitância C=1\,\mu\mathrm{F}. Vamos usar a fórmula da capacitância de placas paralelas,
C = \varepsilon_0 \frac{A}{d},
onde \varepsilon_0 = 8{,}85\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}. Em seguida, com o campo de ruptura elétrica E_{\max}=3\times10^6\,\mathrm{V/m}, vamos achar a tensão máxima V_{\max}=E_{\max}d e daí a carga máxima Q_{\max}=C\,V_{\max}. Por fim, converteremos essa carga em número de elétrons usando e=1{,}6\times10^{-19}\,\mathrm{C}.

Passo 2

Isolando a área A na fórmula da capacitância:
A = \frac{C\,d}{\varepsilon_0}.
Substituindo C=1\times10^{-6}\,\mathrm{F} e d=50\times10^{-6}\,\mathrm{m}:
A = \frac{1\times10^{-6}\times50\times10^{-6}}{8{,}85\times10^{-12}} = \frac{5\times10^{-11}}{8{,}85\times10^{-12}} \approx5{,}65\,\mathrm{m^2}.

Passo 3

A tensão de ruptura é
V_{\max}=E_{\max}\,d =3\times10^6\,\mathrm{V/m}\times50\times10^{-6}\,\mathrm{m} =150\,\mathrm{V}.
Logo a carga máxima é
Q_{\max}=C\,V_{\max} =1\times10^{-6}\,\mathrm{F}\times150\,\mathrm{V} =1{,}5\times10^{-4}\,\mathrm{C}.

Passo 4

O número de elétrons correspondente a Q_{\max} é
N=\frac{Q_{\max}}{e} =\frac{1{,}5\times10^{-4}}{1{,}6\times10^{-19}} \approx9{,}4\times10^{14}.

Resposta

(a) A\approx5{,}65\,\mathrm{m^2}
(b) Q_{\max}\approx1{,}5\times10^{-4}\,\mathrm{C}
(c) N\approx9{,}4\times10^{14}

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