Checkpoint 3.8.1

Qual é o campo elétrico fora de uma esfera sólida que possui uma carga +q uniformemente distribuída em todo o seu volume?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é o campo elétrico fora de uma esfera sólida de raio R que carrega uma carga total +q distribuída uniformemente em seu volume. Como queremos o campo para r\ge R, vamos usar o teorema de Gauss, pois a distribuição é esfericamente simétrica e isso facilita muito o cálculo.

Passo 2

Escolhemos como superfície de Gauss uma esfera concêntrica de raio genérico r, com r\ge R. Por simetria, o campo elétrico \mathbf{E} em todo ponto dessa superfície é radial e de mesma magnitude E(r), ou seja, \mathbf{E}(r)=E(r)\,\hat{r}.

Passo 3

Aplicamos a lei de Gauss:
\oint_{\text{superfície}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_0}.í
Como \mathbf{E} é radial e d\mathbf{A}=dA\,\hat{r}, o fluxo torna-se
E(r)\,\bigl(4\pi r^2\bigr) = \frac{q}{\epsilon_0},
pois toda a carga q está contida dentro da superfície de raio r.

Passo 4

Isolando E(r), obtemos
E(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{q}{r^2}.
Portanto, para r\ge R, o campo elétrico se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro da esfera.

Resposta

Para r\ge R,
\mathbf{E}(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{q}{r^2}\,\hat{r}.

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