Checkpoint 3.6.3

Considere uma superfície gaussiana esférica de raio r com uma partícula de carga +q em seu centro. (a) Na superfície gaussiana, qual é a magnitude do campo elétrico devido à partícula? (b) Qual é o fluxo elétrico através da esfera devido à partícula carregada? (c) Combinando suas respostas aos itens a e b, qual é a relação entre o fluxo elétrico através da esfera e a carga contida q_{\text {enc }} ? (d) Essa relação mudaria se você dobrasse o raio r da esfera?

Passo 1

O enunciado descreve uma superfície gaussiana esférica de raio r que envolve uma carga puntiforme +q em seu centro. O conteúdo envolvido é a lei de Gauss, que relaciona o campo elétrico de uma distribuição de carga à carga elétrica envolvida pela superfície gaussiana. Para resolver, precisamos usar (1) a expressão do campo de um carga pontual e (2) a definição de fluxo elétrico.

Passo 2

Para uma carga pontual +q no centro de uma esfera de raio r, o campo elétrico em qualquer ponto da superfície é radial e de mesma magnitude dada por
E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{q}{r^{2}}.
Isso vem da lei de Coulomb adaptada à simetria esférica.

Passo 3

O fluxo elétrico \Phi através da esfera é a integral de E sobre a área:
\Phi = \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}
Como \mathbf{E} é perpendicular à superfície e uniforme em módulo, temos
\Phi = E \times 4\pi r^{2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{q}{r^{2}}\times 4\pi r^{2} = \frac{q}{\varepsilon_{0}}.

Passo 4

Comparando a expressão do fluxo com a carga encerrada q_{\text{enc}}=q, obtemos a relação geral da lei de Gauss:
\Phi = \frac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}}.

Passo 5

Observe que na expressão \Phi = q_{\text{enc}}/\varepsilon_{0} não aparece o raio r. Logo, se dobrarmos r, o fluxo não muda, pois a diminuição do campo \propto1/r^2 é exatamente compensada pelo aumento da área \propto r^2.

Resposta

(a) \displaystyle E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{q}{r^{2}}.
(b) \displaystyle \Phi=\frac{q}{\varepsilon_{0}}.
(c) \displaystyle \Phi=\frac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}}.
(d) Não mudaria; o fluxo continua \Phi=q_{\text{enc}}/\varepsilon_{0} independente de r.

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