Checkpoint 3.7.1

Suponha que a lei de Coulomb apresentasse uma dependência 1 / r^{2,00001} \mathrm{em} \mathrm{vez} de 1 / r^{2}. (a) Calcule o fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana esférica de raio R centrada em uma partícula de carga +q. (b) Substitua seu resultado na Eq. 3.8. O que você observa?

Passo 1

O enunciado supõe que a lei de Coulomb fosse dada por uma dependência radial
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{r^{2{,}00001}}
em vez de 1/r^2. Pede-se (a) o fluxo elétrico dessa campo através de uma superfície gaussiana esférica de raio R em torno da carga e (b) o que acontece se inserirmos esse fluxo na Eq. 3.8 (a forma integral da Lei de Gauss). Vamos usar simetria esférica e cálculo de fluxo de um campo radial.

Passo 2

Escrevemos o campo elétrico radial modificado como
\mathbf{E}(r)=E(r)\,\hat r \quad\text{com}\quad E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{r^{2{,}00001}}.
Em uma superfície esférica de raio R, \hat r é perpendicular à superfície e o módulo da área é dA = R^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.

Passo 3

O fluxo elétrico é
\Phi =\iint_{S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} =\iint_{S}E(R)\,\hat r\cdot(\hat r\,dA) =E(R)\,\iint_{S}dA =E(R)\,(4\pi R^2).
Substituindo E(R),
\Phi =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{R^{2{,}00001}}\times4\pi R^2 =\frac{q}{\varepsilon_0}\;R^{2-2{,}00001} =\frac{q}{\varepsilon_0}\;R^{-0{,}00001}.

Passo 4

A Eq. 3.8 (Lei de Gauss integral) diz
\Phi =\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} =\frac{q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_0}.
Se substituirmos o \Phi encontrado, temos
\frac{q}{\varepsilon_0}\;R^{-0{,}00001} \;=\;\frac{q}{\varepsilon_0}.

Passo 5

Para que seja válida a igualdade acima, precisaríamos de
R^{-0{,}00001}=1
para todo R, o que só ocorre se o expoente fosse zero. Como aqui ele vale -0{,}00001\neq0, o fluxo depende de R e a Eq. 3.8 deixa de ser universal.

Resposta

(a) \displaystyle \Phi=\frac{q}{\varepsilon_0}\;R^{-0{,}00001}.
(b) Ao inserir esse \Phi na Eq. 3.8, observa-se que o fluxo fica dependente de R, o que contradiz a Lei de Gauss (que exige fluxo igual a q/\varepsilon_0 independente do raio).

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