Checkpoint 5.8.1

Mostre que, se você considerar as cargas livre e ligada, a lei de Gauss no vácuo produz o mesmo resultado para o campo elétrico fora do isolamento que a lei de Gauss na matéria (Eq. 5.28) produz.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, para uma distribuição de cargas livres Q_{\rm free} imersa num dielétrico e observando o campo elétrico num ponto fora do dielétrico, a lei de Gauss no vácuo
\oint_{S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{a} = \frac{Q_{\rm total}}{\varepsilon_{0}}
com Q_{\rm total}=Q_{\rm free}+Q_{\rm bound}, dá o mesmo resultado que a lei de Gauss na matéria
\oint_{S} \mathbf{D}\cdot d\mathbf{a} = Q_{\rm free}\,.
Vamos usar a relação \mathbf{D}=\varepsilon_{0}\mathbf{E}+\mathbf{P} e a definição de carga ligada \rho_{b}=-\nabla\!\cdot\mathbf{P}, \sigma_{b}=\mathbf{P}\cdot\hat{\mathbf{n}}.

Passo 2

Escrevendo a lei de Gauss no vácuo num contorno S que envolve todo o dielétrico e a fonte de carga livre, temos
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a} =\frac{1}{\varepsilon_{0}}\bigl(Q_{\rm free}+Q_{\rm bound}\bigr).
Aqui Q_{\rm bound}=\displaystyle\int_{\rm vol}\rho_{b}\,dV+\!\int_{\rm superf}\sigma_{b}\,dA. Mas, como o dielétrico é macroscopicamente neutro, a carga ligada total inserida em S satisfaz
Q_{\rm bound} =\int_{\rm vol}(-\nabla\!\cdot\mathbf{P})\,dV +\int_{\rm superf}\mathbf{P}\cdot d\mathbf{a} =0.
Portanto \,Q_{\rm total}=Q_{\rm free}.

Passo 3

Agora, pela lei de Gauss na matéria,
\oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{a}=Q_{\rm free}.
Usando \mathbf{D}=\varepsilon_{0}\mathbf{E}+\mathbf{P}, escrevemos
\oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{a} =\varepsilon_{0}\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a} +\oint_{S}\mathbf{P}\cdot d\mathbf{a}.
Mas escolhemos S fora do dielétrico, onde \mathbf{P}=0 sobre toda a superfície, então
\oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{a} =\varepsilon_{0}\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}.

Passo 4

Igualando aos dois lados:
Q_{\rm free} =\varepsilon_{0}\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a} \quad\Longrightarrow\quad \oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a} =\frac{Q_{\rm free}}{\varepsilon_{0}}.
Isso coincide exatamente com a lei de Gauss no vácuo após notar que Q_{\rm total}=Q_{\rm free}. Logo, o campo elétrico fora do dielétrico é o mesmo em ambas as formulações.

Resposta

Para uma superfície gaussiana externa,
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a} =\frac{Q_{\rm free}}{\varepsilon_{0}},
ou seja, o campo obtido é idêntico quer se use a lei de Gauss no vácuo quer se use a lei de Gauss na matéria.

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