Exemplo 5.6 - Capacitor com dielétrico

Um capacitor de placas paralelas consiste em duas placas condutoras com uma área de superfície de 1,0 \mathrm{~m}^{2} e uma distância de separação das placas de 50 \mu \mathrm{~m}. (a) Determine a capacitância e a energia armazenada no capacitor quando ele é carregado conectandoo a uma bateria de 9,0 \mathrm{~V}. (b) Com o capacitor totalmente carregado e desconectado da bateria, uma folha de Mylar de 50 \mu \mathrm{~m} de espessura é inserida entre as placas. Determine a diferença de potencial através do capacitor e a energia armazenada nele. (c) Se o capacitor preenchido com Mylar é conectado à bateria, quanto trabalho a bateria faz para carregar totalmente o capacitor?
  1. Começando São-me dadas informações sobre um capacitor e uma bateria usada para carregá-lo. A partir desta informação, devo determinar a capacitância e a energia armazenada no capacitor com e sem uma folha de Mylar entre as placas conectada à bateria, e determinar o que acontece com o potencial com e sem uma folha de Mylar entre as placas e com e sem a bateria conectada ao capacitor. Quando conectada ao capacitor, a bateria mantém um potencial constante através do capacitor. Quando a bateria não está conectada ao capacitor, a carga nas placas permanece constante.
  2. Desenvolvendo o plano Para calcular a energia armazenada no capacitor posso usar a Eq. 5.7; calculei a capacitância de um capacitor de placas paralelas no Exemplo 5.2. Quando o dielétrico é adicionado, o potencial e a capacitância são dados pelas Eq. 5.12 e Eq. 5.14. Da Tabela 26.1, vejo que a constante dielétrica do Mylar é \kappa=3,3.
  3. Executando o plano (a) Usando o resultado do Exemplo 5.2, obtenho
C=\frac{\left[8.85 \times 10^{-12} \mathrm{C}^{2} /\left(\mathrm{N} \cdot \mathrm{~m}^{2}\right)\right]\left(1.0 \mathrm{~m}^{2}\right)}{50 \times 10^{-6} \mathrm{~m}}=0,18 \times 10^{-6} \mathrm{~F}=0,18 \mu \mathrm{~F},
e a Eq. 5.7 dá
U_{E}=\frac{1}{2} C\left(V_{0}\right)^{2}=\frac{1}{2}(0,18 \mu \mathrm{~F})(9,0 \mathrm{~V})^{2}=7,2 \mu \mathrm{~J}
(b) Por causa da carga superficial ligada no dielétrico, o campo elétrico entre as placas do capacitor diminui, e assim a diferença de potencial através do capacitor também diminui. Da definição da constante dielétrica (Eq. 5.12), tenho
V_{d}=\frac{V_{0}}{\kappa}=\frac{9,0 \mathrm{~V}}{3,3}=2,7 \mathrm{~V},
onde obtive meu valor para \kappa da Tabela 26.1. Para calcular a energia na presença do dielétrico, devo primeiro obter uma expressão para a capacitância do capacitor preenchido com dielétrico. Substituindo a expressão para a capacitância de um capacitor de placas paralelas (ver Exemplo 5.2) na Eq. 5.14 rende
C_{d}=\kappa C_{0}=\frac{\kappa \epsilon_{0} A}{d}=\frac{(3,3)\left[8.85 \times 10^{-12} \mathrm{C}^{2} /\left(\mathrm{N} \cdot \mathrm{~m}^{2}\right)\right]\left(1,0 \mathrm{~m}^{2}\right)}{50 \times 10^{-6} \mathrm{~m}}=0,58 \mu \mathrm{~F}
A energia armazenada é então
U_{E}=\frac{1}{2} C V_{d}^{2}=\frac{1}{2}(0,58 \mu \mathrm{~F})(2,7 \mathrm{~V})^{2}=2,1 \mu \mathrm{~J} .
(c) A energia armazenada no capacitor preenchido com dielétrico totalmente carregado é
U_{E}=\frac{1}{2} C V_{\mathrm{bat}}^{2}=\frac{1}{2}(0,58 \mu \mathrm{~F})(9,0 \mathrm{~V})^{2}=24 \mu \mathrm{~J} .
Da parte (b) sei que antes de ser conectado à bateria, o capacitor armazenava 2,1 \mu \mathrm{J}, e então o trabalho realizado pela bateria ao carregar o capacitor deve ser
24 \mu \mathrm{~J}-2,1 \mu \mathrm{~J}=22 \mu \mathrm{~J}

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Figure 1: Figura 5.30: .
  1. Avaliando o resultado Minhas respostas para as partes (a) e (b) mostram que a quantidade de energia armazenada diminui quando o dielétrico é inserido. Isso faz sentido porque, à medida que o dielétrico é trazido para perto das placas, as placas carregadas induzem uma polarização no dielétrico e consequentemente ele é puxado para o espaço entre as placas (Figura 5.30). Portanto, o capacitor realiza trabalho positivo sobre quem está segurando o dielétrico, e a energia no capacitor diminui à medida que o dielétrico entra no espaço entre as placas. Este trabalho é igual à diferença de energia entre as partes (a) e (b): W=7,2 \mu \mathrm{~J}-2,1 \mu \mathrm{~J}=5,1 \mu \mathrm{~J}. Minha resposta para a parte (c) é cerca de três vezes maior que o valor que calculei para U_{E} na parte ( a ), que é o que espero dado que a capacitância é aumentada pelo fator \kappa=3,3 uma vez que o dielétrico é inserido.

Passo 1

O enunciado completo da questão não foi fornecido; temos apenas a ilustração de um capacitor coaxial (um cilindro interno de raio R_1 e um cilindro externo de raio R_2, comprimento \ell), mas não sabemos exatamente o que se pede (capacitância, energia, campo elétrico etc.). Sem o texto que especifica a grandeza a calcular e as condições do problema, não há como iniciar os cálculos.

Resposta

Não é possível resolver a questão porque não foi fornecido o enunciado completo nem especificado o que deve ser determinado a partir da figura.

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