Checkpoint 3.7.1
Suponha que a lei de Coulomb apresentasse uma dependência
de
. (a) Calcule o fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana esférica de raio
centrada em uma partícula de carga
. (b) Substitua seu resultado na Eq. 3.8. O que você observa?
Passo 1
O enunciado supõe que a lei de Coulomb fosse dada por uma dependência radial
em vez de
. Pede-se (a) o fluxo elétrico dessa campo através de uma superfície gaussiana esférica de raio
em torno da carga e (b) o que acontece se inserirmos esse fluxo na Eq. 3.8 (a forma integral da Lei de Gauss). Vamos usar simetria esférica e cálculo de fluxo de um campo radial.
Passo 2
Escrevemos o campo elétrico radial modificado como
Em uma superfície esférica de raio
,
é perpendicular à superfície e o módulo da área é
.
Passo 3
O fluxo elétrico é
Substituindo
,
Passo 4
A Eq. 3.8 (Lei de Gauss integral) diz
Se substituirmos o
encontrado, temos
Passo 5
Para que seja válida a igualdade acima, precisaríamos de
para todo
, o que só ocorre se o expoente fosse zero. Como aqui ele vale
, o fluxo depende de
e a Eq. 3.8 deixa de ser universal.
Resposta
(a)
(b) Ao inserir esse na Eq. 3.8, observa-se que o fluxo fica dependente de
, o que contradiz a Lei de Gauss (que exige fluxo igual a
independente do raio).
(b) Ao inserir esse