O chefe da fábrica de relógio onde você trabalha pergunta a você o que ocorreria com a frequência do MHS angular da roda catarina de um relógio se todas as suas dimensões fossem reduzidas a um terço do valor inicial para economizar material, mantendo a mesma densidade e a mesma mola (logo, a mesma constante de torção). De qual fator a constante de torção deveria ser modificada para que esta roda catarina menor oscilasse com a frequência original?
Passo 1
Beleza, o exercício tá falando de MHS angular (movimento harmônico simples torsional) de uma roda catarina de relógio. A pergunta é: se a gente reduzir todas as dimensões lineares da roda a um terço, mantendo densidade e mola iguais, como muda a frequência? E, depois, de qual fator a constante de torção (κ) teria que mudar pra que a frequência volte ao valor original?
Conteúdo envolvido:
Conteúdo envolvido:
- Escalonamento de massa com volume (densidade constante)
- Escalonamento do momento de inércia (I) com tamanho e massa
- Fórmula da frequência angular no MHS torsional:
Passo 2
Primeiro, massa escala com o volume. Se a gente corta todas as dimensões por 3, o volume vira
do original. Como a densidade não muda, a nova massa
vale
Passo 3
O momento de inércia de uma peça qualquer (a roda) escala como
. Aqui
também fica dividido por 3, então
Ou seja, o momento de inércia fica 243 vezes menor.
Passo 4
No MHS torsional, a frequência angular é
Originalmente
. Para a roda reduzida, se mantivermos
igual, a nova frequência seria
ou seja, ficaria
vezes maior – a gente não quer isso.
Passo 5
Para que a frequência nova volte a ser
, precisamos que
Elevando ao quadrado e trocando
:
Resposta
A constante de torção precisa ser reduzida para
do valor original (ou seja, um fator
).