O chefe da fábrica de relógio onde você trabalha pergunta a você o que ocorreria com a frequência do MHS angular da roda catarina de um relógio se todas as suas dimensões fossem reduzidas a um terço do valor inicial para economizar material, mantendo a mesma densidade e a mesma mola (logo, a mesma constante de torção). De qual fator a constante de torção deveria ser modificada para que esta roda catarina menor oscilasse com a frequência original?

Passo 1

Beleza, o exercício tá falando de MHS angular (movimento harmônico simples torsional) de uma roda catarina de relógio. A pergunta é: se a gente reduzir todas as dimensões lineares da roda a um terço, mantendo densidade e mola iguais, como muda a frequência? E, depois, de qual fator a constante de torção (κ) teria que mudar pra que a frequência volte ao valor original?
Conteúdo envolvido:
  • Escalonamento de massa com volume (densidade constante)
  • Escalonamento do momento de inércia (I) com tamanho e massa
  • Fórmula da frequência angular no MHS torsional:

Passo 2

Primeiro, massa escala com o volume. Se a gente corta todas as dimensões por 3, o volume vira m' = m27 do original. Como a densidade não muda, a nova massa vale

Passo 3

O momento de inércia de uma peça qualquer (a roda) escala como I' = m',(R/3)^2 = m27,R^29 = 1243,mR^2 = I243 . Aqui também fica dividido por 3, então
Ou seja, o momento de inércia fica 243 vezes menor.

Passo 4

No MHS torsional, a frequência angular é
omega = raizkappaI
Originalmente omega' = raizkappaI' = raizkappaI/243 = raiz243,omega0, . Para a roda reduzida, se mantivermos igual, a nova frequência seria
ou seja, ficaria vezes maior – a gente não quer isso.

Passo 5

Para que a frequência nova volte a ser omega' = raizkappa'I' = omega0 = raizkappaI , precisamos que
kappa'I/243 = kappaI Longrightarrow kappa' = kappa243
Elevando ao quadrado e trocando :

Resposta

A constante de torção precisa ser reduzida para do valor original (ou seja, um fator ).

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