Um pequeno barco de excursão com um convés largo oscila verticalmente com MHS em virtude das ondas de um lago. A amplitude do movimento é de
e o período é igual a
. Uma doca estável está próxima do barco em um nível igual ao nível mais elevado da oscilação do convés. As pessoas desejam descer do barco para a doca, mas isso só pode ser feito confortavelmente quando o nível do convés estiver a uma distância menor do que
do nível da doca. Quanto tempo as pessoas dispõem para descer confortavelmente do barco durante cada período do MHS?
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o problema. Temos um barquinho que faz movimento harmônico simples (MHS) vertical com amplitude A = 0,200 m e período T = 2,80 s. O nível da doca está exatamente na altura do ponto mais alto da oscilação (x = +A). As pessoas só podem descer quando a diferença entre o convés e a doca for menor que 0,100 m. Precisamos calcular quanto tempo, em cada período, o convés fica dentro dessa faixa confortável. Para isso vamos usar:
- A equação do MHS: x(t) = A cos(ωt)
- A relação entre período e pulsação: ω = 2π/T
- Resolução de desigualdade para achar o intervalo de tempo.
Passo 2
Primeiro, escrevemos o MHS:
Aqui, x(t) é a altura do convés medida a partir do nível médio.
A doca está no nível
Queremos
m, ou seja:
Substituindo
Divide tudo por A=0,200:
Passo 3
Agora resolvemos
. Sabemos que
em
(no primeiro quadrante). Então precisamos de
e isso ocorre ao redor do pico máximo (t=0). O comprimento desse intervalo de tempo é
Como
s, temos
Resposta
Os passageiros dispõem de cerca de 0,93 s a cada ciclo para descer confortavelmente.