Um chip de silício medindo 5 mm de lado e 1 mm de espessura está inserido num substrato cerâmico. Em regime permanente, o chip tem uma potência elétrica de entrada de 2 W. A superfície superior do chip está exposta a um refrigerante. Se a taxa de transferência de calor entre o chip e o substrato for desprezível, calcule a variação de energia no chip caso a taxa de remoção de calor feita pelo refrigerante é de \dot{Q}=2+ 0.4 e^{-10 t}[\mathrm{~W}]. Qual a quantidade de calor transferida depois de 0.1 s . O que ocorre com a taxa de transferência de energia quando t for suficientemente longo ( t \rightarrow \infty ). O que isso significa fisicamente (veja definição de regime permanente)?

Passo 1

O enunciado trata de um chip de silício com potência elétrica de entrada constante de 2\\ \mathrm{W} e remoção de calor pela superfície superior dada por
\dot{Q}(t)=2 + 0,4\,e^{-10\,t}\quad[\mathrm{W}].
Não há transferência de calor para o substrato, logo todo o balanço de energia no chip é entre a entrada elétrica e a remoção pelo refrigerante. Vamos usar o princípio da conservação de energia (primeira lei da termodinâmica) em forma de balanço de potências.

Passo 2

Escrevemos a equação de balanço de energia no chip como
\frac{dE}{dt} = P_\text{in} - \dot{Q}(t),
onde P_\text{in}=2\\ \mathrm{W}. Substituindo \dot{Q}(t), obtém-se
\frac{dE}{dt} = 2 - \bigl(2 + 0,4\,e^{-10\,t}\bigr) = -\,0,4\,e^{-10\,t}.

Passo 3

Para encontrar a variação de energia E(t) acumulada no chip a partir de t=0, integramos em relação ao tempo:
E(t)-E(0)=\int_{0}^{t}\frac{dE}{dt'}\,dt' = \int_{0}^{t}\bigl(-0,4\,e^{-10\,t'}\bigr)\,dt'.
Assumimos E(0)=0, ou seja, referenciamos a energia inicial como zero.

Passo 4

Calculando a integral, temos
E(t) = -0,4\int_{0}^{t}e^{-10\,t'}\,dt' = -0,4\Bigl[-\tfrac{1}{10}e^{-10\,t'}\Bigr]_{0}^{t} =0,04\bigl(e^{-10\,t}-1\bigr)\quad[\mathrm{J}].

Passo 5

A quantidade de calor removida pelo refrigerante de t=0 até t=0{,}1\\ \mathrm{s} é
Q_{0\to0,1} =\int_{0}^{0,1}\bigl(2+0,4\,e^{-10\,t}\bigr)\,dt =2\,(0,1)+0,4\Bigl[-\tfrac{1}{10}(e^{-10\,t}-1)\Bigr]_{0}^{0,1} =0,24-0,04\,e^{-1}\approx0,2253\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Quando t\to\infty, e^{-10\,t}\to0 e, portanto,
\dot{Q}(\infty)=2+0,4\cdot0=2\\ \mathrm{W}.
Isso significa que em regime permanente a potência removida pelo refrigerante iguala exatamente a potência elétrica de entrada 2\\ \mathrm{W}, de modo que não há mais variação de energia interna no chip \frac{dE}{dt}=0.

Resposta

Variação de energia:
E(t)=0,04\bigl(e^{-10\,t}-1\bigr)\\ \mathrm{J}.
Calor removido em 0{,}1\\ \mathrm{s}:
Q_{0\to0,1}\approx0,2253\\ \mathrm{J}.
Para t\to\infty, \dot{Q}\to2\\ \mathrm{W}, o que caracteriza o regime permanente (entrada igual à saída).

Exercícios relacionados