Chumbo metálico ( Pb ) se cristaliza no sistema c.f.c… Se o raio do átomo de Pb é 175,0 pm, calcule: a) o comprimento da aresta da cela unitária, b) o volume da cela unitária e c) a densidade do Pb .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de estrutura cristalina! O problema fala sobre o chumbo metálico (Pb), que cristaliza no sistema cúbico de face centrada (c.f.c.). A gente sabe que o raio do átomo de Pb é $ 175,0 , pm $. Precisamos calcular três coisas:
a) O comprimento da aresta da cela unitária,
b) O volume da cela unitária,
c) A densidade do Pb.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma cela unitária no sistema cúbico de face centrada (c.f.c.). Nesse sistema, cada célula unitária tem átomos nos cantos e no centro de cada face do cubo. Sabendo disso, podemos relacionar o raio dos átomos com o comprimento da aresta da cela.

Passo 3

No sistema c.f.c., a aresta da cela unitária ($ a a áô r $) pela fórmula:
r
Isso porque, na c.f.c., a diagonal da face do cubo é igual a quatro vezes o raio atômico.

Passo 4

Agora, vamos calcular o comprimento da aresta da cela unitária usando o raio dado:
r = 175,0 , pm
a = 2raiz2 times 175,0 , pm
a approx 2 times 1,4142 times 175,0 , pm
a approx 494,9 , pm

Passo 5

Com o comprimento da aresta encontrado, podemos calcular o volume da cela unitária ($ V $) usando a fórmula do volume do cubo:
V
V = a^3
V = (494,9 , pm)^3
Convertendo para centímetros cúbicos ($ cm^3 $):
V approx 1,213 times 10^8 , pm^3
cm^3
1 , pm^3 = 10^-30 , cm^3

Passo 6

Agora, vamos calcular a densidade ($ \rho $) do chumbo. A densidade é dada por:
rho
Primeiro, precisamos saber quantos átomos existem na cela unitária de um sistema c.f.c. Em uma c.f.c., há 4 átomos por cela unitária.

Passo 7

A massa de um átomo de Pb pode ser calculada usando a massa molar do chumbo. A massa molar do Pb é aproximadamente $ 207,2 , g/mol $ e o número de Avogadro ($ N_A $) é $ 6,022 \times 10^{23} , átomos/mol $.
207,2 , g/mol áá
NA á
Como há 4 átomos na cela:
6,022 times 10^23 , átomos/mol
Massa de um átomo = 207,2 , g/mol6,022 times 10^23 , átomos/mol

Passo 8

Agora, usando a massa da cela e o volume calculado:
rho = 1,376 times 10^-21 , g1,213 times 10^-22 , cm^3
rho approx 11,33 , g/cm^3
No entanto, o valor real da densidade do chumbo é aproximadamente $ 11,34 , g/cm^3 $, confirmando nossos cálculos.

Resposta

a) O comprimento da aresta da cela unitária é aproximadamente $ 494,9 , pm $.
b) O volume da cela unitária é aproximadamente $ 1,213 \times 10^{-22} , cm^3 $.
c) A densidade do Pb é aproximadamente $ 11,34 , g/cm^3 $.

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