Em uma chuva de intensidade constante, as gotas caem verticalmente. Para ir de um lugar a outro, sob a chuva, de forma tal que se encontre o menor número de gotas, você se moveria com a maior velocidade possível, a menor velocidade possivel ou com algum valor de velocidade intermediário?

Passo 1

O enunciado diz que em chuva de intensidade constante as gotas caem verticalmente. Queremos ir de um ponto a outro, a distância horizontal D, de modo a minimizar o número total de gotas que atingem nosso corpo. O conteúdo usado será cinemática relativa e fluxo de partículas: calcularemos o número de gotas que passam por cada superfície exposta (topo e frente) em função da velocidade v.

Passo 2

Representamos nosso corpo por duas superfícies ideais:
– Topo horizontal de área A_{\mathrm{topo}}.
– Frente vertical de área A_{\mathrm{frente}}.
A chuva tem concentração volumétrica de gotas n (gotas por volume) e velocidade de queda vertical constante w. Nosso movimento é horizontal com velocidade v. A velocidade relativa da chuva em relação a nós é o vetor
\vec u = (v,\, -w),
cuja componente perpendicular ao topo é \,w e à frente é v.

Passo 3

Taxa de passagens de gotas (número de gotas por tempo) em cada superfície:
– No topo, apenas a componente vertical conta, então
\text{taxa}_{\mathrm{topo}} = n \,w\,A_{\mathrm{topo}}.
– Na frente, apenas a componente horizontal conta, então
\text{taxa}_{\mathrm{frente}} = n \,v\,A_{\mathrm{frente}}.

Passo 4

Para percorrer a distância D a velocidade v, o tempo gasto é
t = \frac{D}{v}.
O número total de gotas recebidas é
N(v) = \bigl(\text{taxa}_{\mathrm{topo}} + \text{taxa}_{\mathrm{frente}}\bigr)\,t = \bigl(n\,w\,A_{\mathrm{topo}} + n\,v\,A_{\mathrm{frente}}\bigr)\,\frac{D}{v}.
Simplificando,
N(v) = n\,D\Bigl(\frac{w\,A_{\mathrm{topo}}}{v} + A_{\mathrm{frente}}\Bigr).

Passo 5

Note que o termo n\,D\,A_{\mathrm{frente}} é constante e o termo n\,D\,w\,A_{\mathrm{topo}}/v decresce quando v aumenta. Assim,
\frac{dN}{dv} = -\,n\,D\,\frac{w\,A_{\mathrm{topo}}}{v^{2}} <0 \quad\forall v>0.
Logo N(v) é função estritamente decrescente de v: quanto maior v, menor o número total de gotas.

Resposta

Você deve se mover com a maior velocidade possível.

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