Um malabarista consegue manter cinco bolas em movimento, arremessando, para cima uma de cada vez, em seqüência, até uma altura de 2,5 \mathrm{~m}. (a) Determine o intervalo de tempo entre os arremessos sucessivos. (b) Dar as posições das outras bolas no instante em que uma delas chega a sua mão. Despreze o tempo gasto para transferir as bolas de uma das mãos para a outra.

Passo 1

O enunciado diz que um malabarista mantém cinco bolas lançando-as sucessivamente até altura máxima de 2,5 m, e pergunta (a) o intervalo de tempo entre lançamentos e (b) as posições (alturas) das outras bolas quando uma delas chega à mão. Vamos usar a cinemática do movimento vertical uniformemente retardado pela gravidade g=9,8\text{ m/s}^2: fórmulas de altura máxima, tempo de voo e equação horária.

Passo 2

Para alcançar altura máxima h com velocidade inicial v_0, vale
h = \frac{v_0^2}{2\,g}.
Isolando v_0,
v_0 = \sqrt{2\,g\,h} = \sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 2{,}5} = 7{,}0\text{ m/s}.

Passo 3

O tempo total de voo de uma bola (subida e descida até a mão) é
T = \frac{2\,v_0}{g} = \frac{2\cdot 7{,}0}{9{,}8}\approx 1{,}4286\text{ s}.

Passo 4

Como há cinco bolas em voo em ciclo, o intervalo entre lançamentos é
\Delta t = \frac{T}{5}\approx \frac{1{,}4286}{5} = 0{,}2857\text{ s}.

Passo 5

No instante em que uma bola retorna (tempo total T), as outras foram lançadas há \,k\,\Delta t para k=1,2,3,4. A altura de cada uma é dada por
y_k = v_0\,(k\,\Delta t)\;-\;\frac{1}{2}\,g\,(k\,\Delta t)^2.
Uma forma fechada é
y_k = \frac{4\,h}{25}\,\bigl(5k - k^2\bigr).
Substituindo h=2{,}5 m, obtemos
y_1 = 1{,}6\text{ m},\quad y_2 = 2{,}4\text{ m},\quad y_3 = 2{,}4\text{ m},\quad y_4 = 1{,}6\text{ m}.

Resposta

(a) \Delta t = 0{,}286 s.
(b) As quatro bolas no ar estão, em ordem de lançamento mais recente para mais antigo, a alturas 1{,}6 m, 2{,}4 m, 2{,}4 m e 1{,}6 m acima da mão.

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