Para pequenos arcos, um trecho de parábola pode ser aproximada por um arco de círculo. Qual é o raio r do arco circular que aproxima a trajetória, no seu ponto mais alto, de um projétil cuja velocidade inicial tem módulo v_{0} e inclinação \theta ?

Passo 1

O enunciado pede o raio de curvatura r de uma parábola (trajetória de um projétil) em seu ponto mais alto, de modo que ela seja aproximada por um arco de círculo ali. O conteúdo que vamos usar é a fórmula do raio de curvatura de uma curva dada por y=f(x):
r(x)=\frac{\bigl(1+[y'(x)]^{2}\bigr)^{3/2}}{\bigl|y''(x)\bigr|}.

Passo 2

Escrevemos a equação da trajetória no sistema de eixos x (horizontal) e y (vertical):
y(x)=x\tan\theta \;-\;\frac{g\,x^{2}}{2\,v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}.
Dessa forma,
y'(x)=\tan\theta \;-\;\frac{g\,x}{v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}, \quad y''(x)=-\frac{g}{v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}.

Passo 3

No ponto mais alto da parábola a reta tangente é horizontal, logo y'=0. Embora isso defina a abscissa do vértice, podemos notar que y'' é constante em toda a curva. Assim, no vértice
y'(x_{\rm apex})=0 \quad\Longrightarrow\quad 1+[y'(x_{\rm apex})]^{2}=1.

Passo 4

Substituindo na fórmula do raio de curvatura, obtemos em x_{\rm apex}:
r =\frac{\bigl(1+0^{2}\bigr)^{3/2}}{\bigl|y''\bigr|} =\frac{1}{\displaystyle\frac{g}{v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}} =\frac{v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}{g}.

Resposta

r = \frac{v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}{g}.

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