Um ciclista imprime 20 voltas completas na catraca de 20 cm de raio. Indique quantas voltas dará a roda traseira se a marcha fizer a catraca estar com 5 cm de raio.
a) 20
b) 40
c) 80
d) 160
e) 320

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • O enunciado diz que o ciclista imprime 20 voltas completas na catraca de raio 20\\ \text{cm}.
  • Depois pergunta quantas voltas dará a roda traseira se a marcha fizer a catraca ter raio 5\\ \text{cm}.
  • Informação importante implícita que vamos usar: o movimento que interessa é o deslocamento linear do elo da corrente gerado por cada volta da catraca; e a catraca está ligada à roda traseira, ou seja, cada volta da catraca corresponde a uma volta da roda traseira (assumimos essa ligação sem deslizamento).
O que é pedido:
  • Determinar o número de voltas da roda traseira na situação com raio da catraca igual a 5\\ \text{cm}, dado que originalmente foram feitas 20 voltas com raio 20\\ \text{cm}.

Passo 2

Conceito necessário (aula curtinha e direta): deslocamento linear por volta da catraca.
  • A circunferência de um círculo de raio r é dada por
C=2\pi r.
  • Isso significa que, se a catraca tem raio r, uma volta completa dela desloca a corrente uma distância linear igual a 2\pi r.
  • Se a catraca está rigidamente ligada à roda traseira, cada volta da catraca corresponde a uma volta da roda traseira (ou, equivalentemente, a mesma contagem de voltas).

Passo 3

Calcular o deslocamento total da corrente produzido originalmente.
  • Com raio inicial 20\\ \text{cm} e 20 voltas, a distância linear total percorrida pela corrente é
S = 20 \times 2\pi \times 20.
  • Vamos simplificar essa expressão:
S = 20 \times 2\pi \times 20 = 20 \times 40\pi = 800\pi\\ \text{cm}.

Passo 4

Calcular quanto deslocamento dá cada volta com o novo raio de 5\\ \text{cm}.
  • A circunferência para r=5\\ \text{cm} é
C_{\text{novo}} = 2\pi \times 5 = 10\pi\\ \text{cm}
por volta.

Passo 5

Determinar quantas voltas são necessárias com o novo raio para produzir o mesmo deslocamento total S.
  • Se cada volta nova desloca 10\pi\\ \text{cm}, o número n de voltas necessárias satisfaz
n \times 10\pi = 800\pi.
  • Dividindo ambos os lados por 10\pi,
n = \frac{800\pi}{10\pi} = 80.

Passo 6

Interpretação final e ligação com a roda traseira.
  • Como assumido, cada volta da catraca corresponde a uma volta da roda traseira (catraca ligada à roda).
  • Portanto, na situação com raio 5\\ \text{cm}, para reproduzir o mesmo deslocamento total da corrente a roda traseira dará 80 voltas.

Resposta

c) 80

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