Um ciclista imprime 20 voltas completas na catraca de 20 cm de raio. Indique quantas voltas dará a roda traseira se a marcha fizer a catraca estar com 5 cm de raio.
a) 20
b) 40
c) 80
d) 160
e) 320
a) 20
b) 40
c) 80
d) 160
e) 320
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- O enunciado diz que o ciclista imprime
voltas completas na catraca de raio . - Depois pergunta quantas voltas dará a roda traseira se a marcha fizer a catraca ter raio
. - Informação importante implícita que vamos usar: o movimento que interessa é o deslocamento linear do elo da corrente gerado por cada volta da catraca; e a catraca está ligada à roda traseira, ou seja, cada volta da catraca corresponde a uma volta da roda traseira (assumimos essa ligação sem deslizamento).
O que é pedido:
- Determinar o número de voltas da roda traseira na situação com raio da catraca igual a
, dado que originalmente foram feitas voltas com raio .
Passo 2
Conceito necessário (aula curtinha e direta): deslocamento linear por volta da catraca.
- A circunferência de um círculo de raio
é dada por
- Isso significa que, se a catraca tem raio
, uma volta completa dela desloca a corrente uma distância linear igual a . - Se a catraca está rigidamente ligada à roda traseira, cada volta da catraca corresponde a uma volta da roda traseira (ou, equivalentemente, a mesma contagem de voltas).
Passo 3
Calcular o deslocamento total da corrente produzido originalmente.
- Com raio inicial
e voltas, a distância linear total percorrida pela corrente é
- Vamos simplificar essa expressão:
Passo 4
Calcular quanto deslocamento dá cada volta com o novo raio de
.
- A circunferência para
é
por volta.
Passo 5
Determinar quantas voltas são necessárias com o novo raio para produzir o mesmo deslocamento total
.
- Se cada volta nova desloca
, o número de voltas necessárias satisfaz
- Dividindo ambos os lados por
,
Passo 6
Interpretação final e ligação com a roda traseira.
- Como assumido, cada volta da catraca corresponde a uma volta da roda traseira (catraca ligada à roda).
- Portanto, na situação com raio
, para reproduzir o mesmo deslocamento total da corrente a roda traseira dará voltas.
Resposta
c) 80