Um ciclista de massa total (corpo + bicicleta) de 70 kg desce uma rampa de concreto inclinada de
em relação ao solo. 0 atrito entre os pneus e o chão oferece resistência ao movimento, com coeficiente de atrito
. Determine os peso do ciclista e seus componentes, além de fornecer o valor da força de atrito e aceleração.
Passo 1
O enunciado pede que façamos o seguinte para um ciclista + bicicleta de massa total
descendo uma rampa inclinada
em relação ao horizontal, com coeficiente de atrito
:
- Determinar o peso (módulo da força peso) do ciclista e explicar o que é esse peso.
- Decompor esse peso em suas componentes: a componente paralela ao plano inclinado e a componente perpendicular ao plano.
- Calcular a força de atrito que se opõe ao movimento.
- Calcular a aceleração do ciclista ao longo da rampa.
Informações fornecidas explícitas:
Não há indicação de aceleração perpendicular ao plano (ou seja, o movimento é apenas ao longo da rampa), e usaremos
para a aceleração da gravidade.
Passo 2
O que é o peso e como calcular seu módulo.
- Peso é a força que a gravidade exerce sobre um corpo: é uma força vertical apontando para baixo.
- A fórmula geral é
onde
é o módulo do peso (em newtons,
),
é a massa (em quilogramas,
) e
é a aceleração da gravidade (em
).
Aqui, e
. Vou calcular o valor numérico no próximo passo.
Aqui,
Passo 3
Cálculo do módulo do peso numericamente.
Aplicando :
Aplicando
Explicação pedacinho por pedacinho: multiplicamos a massa pela aceleração da gravidade para obter a força em newtons. O resultado indica a intensidade da força peso que puxa o ciclista para baixo.
Passo 4
Como decompor o peso em componentes ao longo do plano inclinado.
- Imagine o vetor peso apontando verticalmente para baixo; para estudar o movimento na rampa, projetamos esse vetor em duas direções úteis: paralela ao plano (para baixo ao longo da rampa) e perpendicular ao plano (normal ao plano).
- Geometricamente, se a rampa faz ângulo
com a horizontal, as projeções do peso são:
onde
é a componente que tende a fazer o objeto escorregar para baixo e
é a componente que “pressiona” contra a superfície do plano. Vou calcular esses valores no próximo passo.
Passo 5
Cálculo numérico das componentes do peso usando
.
Primeiro os valores trigonométricos (valores aproximados):
Primeiro os valores trigonométricos (valores aproximados):
Agora aplicando as fórmulas:
Interpretação:
é a força que “puxa” ao longo da rampa;
é a força que aperta o ciclista contra a rampa.
Passo 6
Força normal
.
- A força normal é a reação da superfície à pressão perpendicular do peso. Se não há aceleração na direção perpendicular ao plano (hipótese usual para descida sem levantar do solo), então as forças perpendiculares se equilibram:
.
Portanto:
Explicação: a soma de forças perpendicular é zero (sem movimento para longe/para dentro do plano), então a normal anula a componente perpendicular do peso.
Passo 7
Força de atrito: fórmula e direção.
- A força de atrito cinético (ou resistência oferecida pelos pneus rolando/se comportando com coeficiente dado) tem módulo
onde
é o coeficiente de atrito e
é a força normal.
- A direção é contrária ao movimento. Como o ciclista tende a descer, a força de atrito aponta para cima ao longo da rampa (oposta ao
).
Passo 8
Cálculo numérico da força de atrito usando
e
:
Interpretação: o atrito é relativamente pequeno (cerca de
) comparado com a componente que puxa para baixo.
Passo 9
Força resultante ao longo do plano e equação do movimento.
- As forças ao longo do plano são: para baixo
e para cima . A resultante ao longo do plano é
- Pela segunda lei de Newton,
, logo
Substituindo as expressões em termos de
e
, obtemos uma forma mais direta:
Essa última fórmula é útil porque elimina
: a massa cancela, então todos os corpos com o mesmo atrito e inclinação têm a mesma aceleração.
Passo 10
Cálculo numérico da aceleração usando
,
,
e
:
Primeiro dentro dos parênteses:
Agora:
Interpretação: o sinal positivo indica que a aceleração é para baixo ao longo da rampa (o ciclista acelera descendo).
Passo 11
Resumo e checagem rápida da consistência:
- Peso
tem componente paralela e perpendicular . - Normal igual a
gera atrito . - Resultante para baixo
e divisão por dá . Tudo coerente.