Em um centro de distribuição, pacotes são colocados em uma esteira transportadora inclinada de
, que conduz as caixas até a parte inferior do galpão. Uma das caixas, de massa 12 kg , desliza sobre a esteira, mas existe atrito entre sua base e a superfície. O coeficiente de atrito cinético é
. Determine Px, Py, Fat e aceleração.
Passo 1
O enunciado dá uma caixa de massa
que desliza por uma esteira inclinada de
. Há atrito cinético com coeficiente
. O enunciado pede:
,
,
e a aceleração da caixa. Dados relevantes fornecidos:
,
,
. Vou usar
.
Passo 2
Escolhemos um sistema de eixos conveniente: o eixo
paralelo à rampa (positivo para baixo, isto é, na direção do movimento) e o eixo
perpendicular à rampa (positivo para fora da rampa). A força peso
tem módulo
e pode ser decomposta em duas componentes:
(paralela à rampa) e
(perpendicular à rampa). Não faremos ainda os cálculos numéricos; primeiro explico as fórmulas.
Passo 3
Explicação das fórmulas das componentes do peso:
- O peso tem módulo
, onde é a massa e é a aceleração da gravidade. - Ao decompor
em um eixo paralelo à rampa e outro perpendicular, usamos trigonometria do triângulo retângulo formado pela direção do peso e os eixos inclinados. Para um ângulo entre a rampa e a horizontal, as componentes são:
Aqui
é a componente que “puxa” a caixa para baixo da rampa e
é a componente que pressiona a caixa contra a rampa. Explico:
projeta o vetor peso na direção paralela à rampa e
na perpendicular.
Passo 4
Calculemos primeiro o peso total:
Agora aplicamos as fórmulas das componentes com
. Como
, temos as expressões gerais:
Passo 5
Substituindo números e calculando
e
:
Observação: como a rampa tem
, as duas componentes têm o mesmo valor.
Passo 6
Agora a força normal
: quando não há aceleração na direção perpendicular à rampa (isto é, a caixa não perde contato nem pula), a soma das forças nessa direção é zero. Assim:
Logo
vale o mesmo que calculamos para
, ou seja
.
Passo 7
Força de atrito cinético: a magnitude da força de atrito é dada por
onde
é o coeficiente de atrito cinético e
a normal. Esta fórmula significa que o atrito é proporcional à pressão entre as superfícies; aqui usamos a normal porque é a força que “aperta” a caixa contra a rampa.
Passo 8
Calculemos
numericamente:
Direção do atrito: como a caixa desliza para baixo da rampa, o atrito atua para cima da rampa (oposto ao sentido do movimento).
Passo 9
Equação do movimento ao longo da rampa (eixo
): a resultante
é a diferença entre a componente do peso para baixo
e a força de atrito que aponta para cima
:
A segunda lei de Newton diz
. Assim:
Passo 10
Substituímos números para achar a aceleração:
O sinal positivo indica aceleração para baixo ao longo da rampa (mesma direção de
), como esperado porque
.