Em um centro de distribuição, pacotes são colocados em uma esteira transportadora inclinada de 45^{\circ}, que conduz as caixas até a parte inferior do galpão. Uma das caixas, de massa 12 kg , desliza sobre a esteira, mas existe atrito entre sua base e a superfície. O coeficiente de atrito cinético é \mu=0,30. Determine Px, Py, Fat e aceleração.

Passo 1

O enunciado dá uma caixa de massa m=12\\ \mathrm{kg} que desliza por uma esteira inclinada de \theta=45^\circ. Há atrito cinético com coeficiente \mu=0,30. O enunciado pede: P_x, P_y, F_{at} e a aceleração da caixa. Dados relevantes fornecidos: m=12\\ \mathrm{kg}, \theta=45^\circ, \mu_k=0,30. Vou usar g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Escolhemos um sistema de eixos conveniente: o eixo x paralelo à rampa (positivo para baixo, isto é, na direção do movimento) e o eixo y perpendicular à rampa (positivo para fora da rampa). A força peso \vec{P} tem módulo P=mg e pode ser decomposta em duas componentes: P_x (paralela à rampa) e P_y (perpendicular à rampa). Não faremos ainda os cálculos numéricos; primeiro explico as fórmulas.

Passo 3

Explicação das fórmulas das componentes do peso:
  • O peso tem módulo \,P = m g\,, onde m é a massa e g é a aceleração da gravidade.
  • Ao decompor P em um eixo paralelo à rampa e outro perpendicular, usamos trigonometria do triângulo retângulo formado pela direção do peso e os eixos inclinados. Para um ângulo \theta entre a rampa e a horizontal, as componentes são:
P_x = P \sin\theta
P_y = P \cos\theta
Aqui P_x é a componente que “puxa” a caixa para baixo da rampa e P_y é a componente que pressiona a caixa contra a rampa. Explico: \sin\theta projeta o vetor peso na direção paralela à rampa e \cos\theta na perpendicular.

Passo 4

Calculemos primeiro o peso total:
P = m g = 12 \times 9{,}8 = 117{,}6\\ \mathrm{N}.
Agora aplicamos as fórmulas das componentes com \theta=45^\circ. Como \sin45^\circ=\cos45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, temos as expressões gerais:
P_x = mg\sin45^\circ,\qquad P_y = mg\cos45^\circ.

Passo 5

Substituindo números e calculando P_x e P_y:
P_x = 117{,}6 \times \sin45^\circ = 117{,}6 \times \frac{\sqrt{2}}{2}\approx 83{,}21\\ \mathrm{N},
P_y = 117{,}6 \times \cos45^\circ = 117{,}6 \times \frac{\sqrt{2}}{2}\approx 83{,}21\\ \mathrm{N}.
Observação: como a rampa tem 45^\circ, as duas componentes têm o mesmo valor.

Passo 6

Agora a força normal N: quando não há aceleração na direção perpendicular à rampa (isto é, a caixa não perde contato nem pula), a soma das forças nessa direção é zero. Assim:
N - P_y = 0 \quad\Rightarrow\quad N = P_y.
Logo N vale o mesmo que calculamos para P_y, ou seja N\approx 83{,}21\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Força de atrito cinético: a magnitude da força de atrito é dada por
F_{at} = \mu_k N,
onde \mu_k é o coeficiente de atrito cinético e N a normal. Esta fórmula significa que o atrito é proporcional à pressão entre as superfícies; aqui usamos a normal porque é a força que “aperta” a caixa contra a rampa.

Passo 8

Calculemos F_{at} numericamente:
F_{at} = 0{,}30 \times 83{,}21 \approx 24{,}96\\ \mathrm{N}.
Direção do atrito: como a caixa desliza para baixo da rampa, o atrito atua para cima da rampa (oposto ao sentido do movimento).

Passo 9

Equação do movimento ao longo da rampa (eixo x): a resultante F_{res,x} é a diferença entre a componente do peso para baixo P_x e a força de atrito que aponta para cima F_{at}:
F_{res,x} = P_x - F_{at}.
A segunda lei de Newton diz F_{res,x} = m a. Assim:
a = \frac{P_x - F_{at}}{m}.

Passo 10

Substituímos números para achar a aceleração:
F_{res,x} = 83{,}21 - 24{,}96 = 58{,}25\\ \mathrm{N}\quad(\text{aprox.}),
a = \frac{58{,}25}{12} \approx 4{,}85\\ \mathrm{m/s^2}.
O sinal positivo indica aceleração para baixo ao longo da rampa (mesma direção de P_x), como esperado porque P_x>F_{at}.

Resposta

P_x \approx 83{,}21\\ \mathrm{N}
P_y \approx 83{,}21\\ \mathrm{N}
F_{at} \approx 24{,}96\\ \mathrm{N}
a \approx 4{,}85\\ \mathrm{m/s^2}

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