Um ciclo de potência operando entre dois reservatórios recebe energia Q_{H} por transferência de calor de um reservatório quente a T_{H}=2000 K e descarrega energia Q_{C} por transferência de calor para um reservatório frio a T_{C}=400 K. Para cada um dos casos seguintes determine se o ciclo opera reversívelmente, irreversivelmente, ou é impossível:
\eta=40 \%

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados que temos e a pergunta):
  • Temperatura do reservatório quente: T_{H}=2000\\ \text{K}.
  • Temperatura do reservatório frio: T_{C}=400\\ \text{K}.
  • Eficiência do ciclo dada: \eta=40\%.
    O que o exercício pede: determinar se o ciclo, operando entre esses dois reservatórios com essa eficiência, é reversível, irreversível ou impossível.

Passo 2

Definições e fórmulas básicas que vou usar (explicando cada símbolo):
  • Eficiência térmica de um ciclo qualquer:
\eta=\frac{W}{Q_{H}}=1-\frac{Q_{C}}{Q_{H}},
onde W é o trabalho produzido por ciclo, Q_{H} é o calor absorvido do reservatório quente e Q_{C} é o calor cedido ao reservatório frio. A razão Q_{C}/Q_{H} indica a fração do calor de entrada que sai como calor de rejeição.
  • Para um ciclo reversível (ideal) operando entre dois reservatórios a temperaturas fixas, a máxima eficiência possível é a eficiência de Carnot:
\eta_{C}=1-\frac{T_{C}}{T_{H}},
onde T_{H} e T_{C} são as temperaturas absolutas (K) dos reservatórios. Essa é uma propriedade fundamental: nenhum ciclo real entre os mesmos reservatórios pode ter eficiência maior que \eta_{C}. Se um ciclo fosse reversível, sua eficiência teria que ser exatamente \eta_{C}.

Passo 3

Calcular a eficiência de Carnot com os números dados:
\eta_{C}=1-\frac{T_{C}}{T_{H}}=1-\frac{400}{2000}.
Calculemos a fração:
\frac{400}{2000}=0,2,
então
\eta_{C}=1-0,2=0,8=80\%.
Interpretação: a eficiência máxima possível (reversível) para qualquer ciclo que opere entre T_{H}=2000\\ \text{K} e T_{C}=400\\ \text{K} é 80\%. Não existe ciclo reversível com eficiência diferente de 80\% entre esses dois reservatórios; um ciclo reversível teria exatamente 80\%.

Passo 4

Comparação direta com a eficiência dada:
  • Eficiência dada: \eta=40\%.
  • Eficiência de Carnot (máxima reversível): \eta_{C}=80\%.
    Como \eta=40\%<\eta_{C}=80\%, a eficiência dada é menor que a máxima reversível. Conclusão preliminar: o ciclo com \eta=40\% não pode ser reversível (um ciclo reversível teria \eta=80\%). Resta decidir entre “irreversível” ou “impossível”.

Passo 5

Usar a Segunda Lei (variação total de entropia) para verificar possibilidade física e qualificação irreversível/impossível. A variação de entropia do universo por ciclo é
\Delta S_{\text{univ}}=-\frac{Q_{H}}{T_{H}}+\frac{Q_{C}}{T_{C}}.
Explicando: ao retirar Q_{H} do reservatório quente, esse reservatório perde entropia Q_{H}/T_{H} (sinal negativo). Ao ceder Q_{C} ao reservatório frio, esse último ganha entropia Q_{C}/T_{C}. Para processos possíveis fisicamente, a Segunda Lei exige \Delta S_{\text{univ}}\ge 0, com igualdade somente para processos reversíveis.
Expressar Q_{C} em função de Q_{H} e \eta:
Q_{C}=Q_{H}\left(1-\eta\right).
Substituindo \eta=40\%=0,4:
Q_{C}=Q_{H}\left(1-0,4\right)=0,6\,Q_{H}.
Agora calcular \Delta S_{\text{univ}}:
\Delta S_{\text{univ}}=-\frac{Q_{H}}{T_{H}}+\frac{0,6\,Q_{H}}{T_{C}} =Q_{H}\!\left(-\frac{1}{T_{H}}+\frac{0,6}{T_{C}}\right).
Substituir T_{H}=2000\\ \text{K} e T_{C}=400\\ \text{K}:
-\frac{1}{T_{H}}=-\frac{1}{2000}=-0,0005, \qquad \frac{0,6}{T_{C}}=\frac{0,6}{400}=0,0015.
Portanto
\Delta S_{\text{univ}}=Q_{H}\bigl(-0,0005+0,0015\bigr)=Q_{H}\cdot 0,001.
Como Q_{H}>0 (calor recebido do quente), temos \Delta S_{\text{univ}}>0. Isso significa que o processo respeita a Segunda Lei (a entropia do universo aumenta), logo é fisicamente possível — e por ter \Delta S_{\text{univ}}>0 é irreversível.

Passo 6

Resumo lógico das possibilidades:
  • Se \eta=\eta_{C} então ciclo reversível (aqui \eta_{C}=80\%, e \eta\neq 80\%).
  • Se \eta<\eta_{C} então pode ser um ciclo irreversível (possível) — devemos checar se \Delta S_{\text{univ}}\ge0; aqui obtenmos \Delta S_{\text{univ}}=Q_{H}\cdot 0,001>0, então é possível e irreversível.
  • Se \eta>\eta_{C} então é impossível: isso implicaria \Delta S_{\text{univ}}<0, violando a Segunda Lei.

Resposta

Irreversível

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