Quando o ciclo-propano (
) é aquecido a
, ele se transforma no isômero propeno
. Os dados da tabela a seguir mostram as concentrações de ciclo-propano medidas em vários instantes diferentes, após o início da reação. Através do método gráfico, confirme que esta reação é de primeira ordem em
e calcule a constante de velocidade da reação química.
0
5
10
15
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0 | 5 | 10 | 15 |
Passo 1
O enunciado dá as concentrações do ciclo-propano
em instantes diferentes e pede duas coisas: confirmar, pelo método gráfico, que a reação é de primeira ordem em
e calcular a constante de velocidade. Os dados fornecidos são (peguei estes números da tabela do enunciado):
- Concentrações:
-
em . -
em . -
em . -
em .
-
O que se pede, portanto:
- Verificar (graficamente) se
segue uma lei de primeira ordem. - Calcular a constante de velocidade
dessa reação.
Passo 2
Lição rápida (teoria e método gráfico): para uma reação que é de primeira ordem em
(aqui
), a equação diferencial é
onde
é a constante de velocidade (unidade:
). Integrando essa equação obtém-se a forma integrada (a que vamos usar no gráfico):
Explicando cada termo:
-
é a concentração em função do tempo; -
é a concentração inicial (em ); -
é a constante de velocidade (o que queremos calcular); -
é o tempo.
Consequência prática (método gráfico): se a reação for realmente de primeira ordem, ao plotar
versus
obtém-se uma reta. O coeficiente angular dessa reta é
. Assim, para confirmar a ordem e obter
por método gráfico, procede-se assim:
- Calcular
das concentrações medidas. - Traçar
no eixo vertical e no eixo horizontal; ajustar uma reta (linha de melhor ajuste). - O declive (slope) da reta será
; então declive.
Passo 3
Calcular
das concentrações (mostrando como faço cada cálculo). Uso a propriedade
e valores numéricos conhecidos (
). Cálculos (todas as quantidades abaixo estão em
para as concentrações):
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Organizando em coluna (para visualizar como seria o gráfico
vs
):
-
: . -
: . -
: . -
: .
Esses valores mostram uma queda aproximada linear de
com
(diferenças quase constantes por intervalo igual de tempo), o que já é um forte indício visual de primeira ordem.
Passo 4
Checagem quantitativa da linearidade (slope entre pares de pontos): para verificar se os pontos estão praticamente em reta, calculo o declive entre vários pares (slope
). Para primeira ordem espera-se
aproximadamente constante e
.
-
Entre
e : -
Entre
e : -
Entre
e : -
Entre
e : -
Entre
e :
Os valores de
variam pouco (aproximadamente entre
e
). Essa proximidade mostra que os pontos se alinham bem numa reta (pequenas variações são esperadas por erro experimental). Portanto o comportamento é consistente com uma reação de primeira ordem em
.
Passo 5
Cálculo final de
por ajuste linear (método gráfico/linha de melhor ajuste): o procedimento gráfico ideal é traçar os pontos
e ajustar a reta de mínimos quadrados; o declive dessa reta é
e
. Faço aqui o ajuste por fórmula explícita de regressão linear (reta de mínimos quadrados) usando os quatro pontos.
Fórmula do declive da reta de ajuste por mínimos quadrados (com
pontos):
Com
, os somatórios calculados a partir dos dados são:
Substituindo na fórmula:
Portanto o declive da reta de melhor ajuste é
. Como para primeira ordem
, tem-se
. Logo:
(Outra forma prática, menos formal, seria traçar a reta que melhor passa pelos pontos no gráfico papel e medir seu declive; o resultado será muito próximo desse valor.)
Passo 6
Interpretação final e verificação prática:
- Os valores de
versus são praticamente alinhados (diferenças pequenas entre declives calculados por pares), o que confirma experimentalmente, pelo método gráfico, que a reação é de primeira ordem em . - A constante de velocidade obtida pelo ajuste de mínimos quadrados é
. Em notação científica e com três algarismos significativos:
Força: se for preciso, na prova desenhe o gráfico
vs
, trace a reta de melhor ajuste à mão (pelo método dos mínimos erros visuais ou usando régua), meça o declive e calcule
declive — esse é o procedimento que a banca espera.
Resposta
A reação é de primeira ordem em
.