Um cicloide é descrito pelo movimento de um ponto fixo de uma circunferência de raio r que rola, sem deslisamento, sobre um eixo. Supondo que, para o instante t=0, o ponto fixo da circunferência coincida com a origem do plano cartesiano, obtenha a curva parametrizada \alpha diferenciável cujo o traço é a cicloide. Esta curva é regular? Caso não seja regular quais os ponto singulares de \alpha

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Obter uma curva parametrizada \alpha diferenciável cujo traço seja a cicloide gerada por um ponto fixo numa circunferência de raio r que rola, sem deslizamento, sobre o eixo x, com a condição inicial de que, em t=0, o ponto gerador coincide com a origem (0,0).
  • Verificar se essa curva é regular; se não for, identificar os pontos singulares de \alpha.
Informações relevantes dadas (e que vou usar):
  • O raio da circunferência é r (constante positiva).
  • A circunferência rola sem deslizamento sobre o eixo x.
  • Em t=0 o ponto gerador está na origem (0,0).
  • Vou usar um parâmetro t\in\mathbb{R} relacionado ao ângulo que a roda gira (em radianos).

Passo 2

Escolha do parâmetro e interpretação física (intuitiva e crucial).
  • Vou tomar t como o ângulo (em radianos) que a roda rodou, medido em módulo; movimentar a roda uma pequena quantidade dt corresponde a girá‑la de um ângulo dt.
  • Pelo não deslizamento, o deslocamento horizontal do centro da roda é igual ao comprimento de arco percorrido na circunferência: se a roda gira de ângulo t, o centro desloca horizontalmente r t.
  • Para fixar a posição inicial: em t=0 o ponto gerador está em contato com o eixo em (0,0). Logo o centro da roda inicialmente está em (0,r).
Observação sobre orientação: quando a roda se desloca para a direita, ela gira no sentido horário. Se tratarmos t como o módulo do ângulo positivo, a rotação efetiva do ponto relativo ao centro é de ângulo -t (rotações no sentido horário).

Passo 3

Posição do centro da circunferência ao tempo t.
  • Inicialmente (em t=0) o centro está em (0,r).
  • Pelo não deslizamento, após giro de ângulo t o centro deslocou horizontalmente r t para a direita e a altura do centro permanece r.
  • Portanto as coordenadas do centro em função de t são
\big(r t,\; r\big).
Expliquei: r t vem da relação comprimento do arco =r\cdot t igual ao deslocamento horizontal do centro.

Passo 4

Posição do ponto gerador em relação ao centro após rotação de -t.
  • No instante t=0 o vetor do centro ao ponto gerador é (0,-r) (o ponto está diretamente abaixo do centro).
  • Aplicando uma rotação de ângulo -t (horário) a esse vetor, uso a fórmula da rotação: para um vetor (x_0,y_0) rotacionado por ângulo \theta obtém‑se (x_0\cos\theta - y_0\sin\theta,\; x_0\sin\theta + y_0\cos\theta).
  • Tomando (x_0,y_0)=(0,-r) e \theta=-t, calculo:
    • \cos(-t)=\cos t e \sin(-t)=-\sin t.
    • Portanto o vetor rotacionado é
    \big(0\cdot\cos(-t) - (-r)\cdot\sin(-t),\; 0\cdot\sin(-t) + (-r)\cdot\cos(-t)\big) = \big(-r\sin t,\; -r\cos t\big).
Portanto, em relação ao centro, o ponto gerador ficou deslocado pelo vetor \big(-r\sin t,\; -r\cos t\big).

Passo 5

Somando posição do centro com o vetor relativo, obtenho as coordenadas do ponto gerador (a cicloide).
  • Soma componente a componente:
    • Coordenada x: r t + (-r\sin t) = r\big(t-\sin t\big).
    • Coordenada y: r + (-r\cos t) = r\big(1-\cos t\big).
  • Assim a parametrização (para t\in\mathbb{R}) é
\alpha(t)=\big(r(t-\sin t),\; r(1-\cos t)\big).
Explicação didática: a primeira parcela r t em x vem do deslocamento do centro, a segunda -r\sin t vem da rotação do ponto ao redor do centro; em y a altura é r do centro menos a componente vertical do vetor rotacionado.

Passo 6

Diferenciabilidade da curva \alpha.
  • As componentes r(t-\sin t) e r(1-\cos t) são combinações de polinômios e funções trigonométricas suaves; portanto \alpha é C^\infty (infinitamente diferenciável) em todo \mathbb{R}.
  • Logo a curva é diferenciável globalmente.

Passo 7

Cálculo da derivada e condição de regularidade.
  • Derivo componente a componente (regra básica: derivada de \sin t é \cos t, de \cos t é -\sin t): \alpha'(t)=\big(r(1-\cos t),\; r\sin t\big).
  • Uma parametrização é regular num t se \alpha'(t)\neq(0,0). Vamos verificar quando \alpha'(t)=(0,0).
  • Calculo o quadrado da norma de \alpha'(t) para simplificar: \|\alpha'(t)\|^2 = r^2(1-\cos t)^2 + r^2\sin^2 t = r^2\big((1-\cos t)^2+\sin^2 t\big).
  • Simplifico o termo trigonométrico: usando \sin^2 t + \cos^2 t = 1, (1-\cos t)^2+\sin^2 t = 1 - 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t = 2 - 2\cos t.
  • Então \|\alpha'(t)\|^2 = r^2(2-2\cos t) = 2r^2(1-\cos t).
  • Usando a identidade 1-\cos t = 2\sin^2\!\big(\tfrac{t}{2}\big), obtenho \|\alpha'(t)\|^2 = 4r^2\sin^2\!\big(\tfrac{t}{2}\big).
  • Portanto a norma é \|\alpha'(t)\| = 2r\big|\sin\!\big(\tfrac{t}{2}\big)\big|.

Passo 8

Identificação dos pontos singulares (onde \alpha'(t)=0).
  • A norma \|\alpha'(t)\| é zero exatamente quando \sin\!\big(\tfrac{t}{2}\big)=0.
  • Isso ocorre para \tfrac{t}{2}=k\pi, k\in\mathbb{Z}, ou seja para t = 2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • Nos demais valores de t temos \|\alpha'(t)\|>0, logo a curva é regular nesses pontos.
  • Coordenadas dos pontos singulares na reta y=0: substituindo t=2k\pi em \alpha(t), \alpha(2k\pi)=\big(r(2k\pi-\sin(2k\pi)),\; r(1-\cos(2k\pi))\big) =\big(2k\pi r,\; 0\big).Ou seja, os pontos singulares são os pontos da forma \big(2k\pi r,\,0\big) sobre o eixo x — são as cuspides (pontas) da cicloide.

Resposta

\displaystyle \alpha(t)=\big(r(t-\sin t),\; r(1-\cos t)\big),\\ t\in\mathbb{R}.
Não é regular em todos os t: os pontos singulares ocorrem para \displaystyle t=2k\pi ( k\in\mathbb{Z}), correspondendo às posições \displaystyle \alpha(2k\pi)=(2k\pi r,\;0).

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