Esboce as curvas de nível e o gráfico da função dada.
f(x, y)=x y

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Esboçar as curvas de nível da função f(x,y)=xy.
  • Esboçar o gráfico tridimensional da função z=f(x,y)=xy.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=xy definida para todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^2 (ou seja, o domínio é todo o plano).
  • Não há restrições adicionais no enunciado (vamos assumir domínio inteiro \mathbb{R}^2).

Passo 2

O que são curvas de nível (rapidamente, passo a passo)?
  • Curva de nível associada a um número real c é o conjunto de pontos (x,y) no plano tais que f(x,y)=c.
  • Para a nossa função isso significa resolver a equação
xy=c.
  • Cada valor de c fornece uma curva diferente no plano (uma família parametrizada por c).
Vou explicar e interpretar essa equação para vários valores de c, porque é isso que usamos para desenhar as curvas de nível na prova.

Passo 3

Caso c=0.
  • A equação \,xy=0\, significa que x=0 ou y=0.
  • Logo, a curva de nível c=0 é a união dos dois eixos coordenados: o eixo x ( y=0) e o eixo y ( x=0).
  • Geometricamente: duas retas perpendiculares cruzando na origem. Esse é o “contorno” onde a superfície muda de sinal (de positiva para negativa).

Passo 4

Caso c\neq0: forma das curvas.
  • Para c\neq0 podemos escrever
y=\frac{c}{x},\qquad x\neq0.
  • A curva y=\dfrac{c}{x} é uma hipérbole retangular com assíntotas nos eixos coordenados ( x=0 e y=0).
  • Orientação/posicionamento das hipérboles:
    • Se c>0: y=c/x tem ramos nos quadrantes I e III (porque x e y têm o mesmo sinal).
    • Se c<0: ramos nos quadrantes II e IV (porque x e y têm sinais opostos).
  • Quanto maior |c|, mais “longe” do eixo a hipérbole fica para um dado x. Para |c| pequeno, a curva fica mais próxima da origem.

Passo 5

Exemplos concretos para desenhar (escolha de níveis úteis).
  • Curvas típicas a desenhar: c=-2,\\\ -1,\\\ -\tfrac12,\\\ 0,\\ \tfrac12,\\\ 1,\\\ 2.
  • Para cada c plote alguns pontos: por exemplo, se c=1 então y=1/x. Pontos fáceis: (1,1), (2,0,5), (\tfrac12,2), (-1,-1).
  • Para c=-1: pontos (1,-1), (2,-\tfrac12), (-1,1).
  • Use esses pontos e a aparência de hipérbole com assíntotas x=0 e y=0 para esboçar cada curva. Lembre-se: curvas para c>0 ficam em quadrantes I e III; para c<0 em II e IV; c=0 são os eixos.

Passo 6

Como esboçar as curvas de nível rapidamente na prova (receita prática):
  1. Trace os eixos x e y e marque a origem.
  2. Desenhe a curva c=0 como os dois eixos.
  3. Para c>0, desenhe hipérboles nos quadrantes I e III com formato y=c/x. Comece plotando (1,c),\\ (2,c/2),\\ (\tfrac12,2c) para visualizar a forma.
  4. Para c<0, desenhe hipérboles nos quadrantes II e IV. Ex.: (1,c),\\ (2,c/2) (aqui c é negativo).
  5. Lembre-se das assíntotas: as curvas se aproximam de x=0 e y=0 sem tocar (exceto c=0, que são as próprias retas).

Passo 7

Agora o gráfico tridimensional z=f(x,y)=xy: interpretação e seções.
  • O gráfico é a superfície formada por pontos (x,y,z) tais que
z=xy.
  • Algumas observações úteis para desenhar a superfície:
    • Se fixo x=x_0 a superfície intersecta o plano x=x_0 na reta
    z=x_0 y,que é uma reta (linear em y) passando pela origem do plano x=x_0 com inclinação x_0.
    • Se fixo y=y_0 a interseção no plano y=y_0 é
    z=y_0 x,também uma reta (linear em x).
    • Isto significa que a superfície é formada por retas em direções diferentes — característica típica de uma superfície chamada “paraboloide hiperbólico” ou, mais simplesmente aqui, uma “sela” (saddle surface).
  • Cortes importantes:
    • Corte por y=x: então z=x^2, uma parábola que abre para cima no plano contendo a reta y=x.
    • Corte por y=-x: então z=-x^2, uma parábola que abre para baixo no plano contendo a reta y=-x.
    • Esses dois cortes perpendiculares mostram claramente o comportamento de sela: numa direção a superfície sobe (parábola positiva), na outra direção desce (parábola negativa).

Passo 8

Ponto crítico e natureza (sela) — um pouco de cálculo para justificar.
  • Derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=y,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=x.
  • Ponto crítico é onde ambas derivadas são zero, ou seja x=0 e y=0. Então (0,0) é ponto crítico e o valor aí é z=0.
  • Hessiana (matriz de segundas derivadas):
H = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\\[4pt] \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\[4pt] 1 & 0 \end{pmatrix}.
  • Essa Hessiana tem autovalores 1 e -1 (produtos positivos e negativos), o que indica um ponto de sela no ponto crítico (0,0,0).
  • Conclusão: o gráfico z=xy tem uma sela na origem — sobe em algumas direções e desce em outras.]

Passo 9

Como esboçar o gráfico 3D na prova (passo a passo prático):
  1. Desenhe os eixos x, y e z. Localize a origem (0,0,0).
  2. Marque que sobre as linhas x=0 ou y=0 a altura é z=0 (isto é, a superfície corta o plano z=0 ao longo dos eixos x e y).
  3. Em torno da reta y=x a superfície sobe formando uma parábola z=x^2. Em torno da reta y=-x a superfície desce formando z=-x^2.
  4. Para outros planos x=x_0 a superfície é uma reta z=x_0 y; para y=y_0 é reta z=y_0 x. Use algumas dessas retas como guias para desenhar a “malha” da superfície.
  5. Combine as direções crescentes e decrescentes para desenhar a sela: em quadrantes onde x e y têm o mesmo sinal ( I e III) a superfície está acima do plano z=0; onde têm sinais opostos ( II e IV) está abaixo.
  6. Não se esqueça de mostrar a origem como ponto de sela (não é máximo nem mínimo).

Passo 10

Resumo visual mental (o que você deve ter no papel):
  • Curvas de nível: família xy=c que são hipérboles para c\neq0 e os eixos para c=0. Desenhe algumas hipérboles positivas (I e III) e negativas (II e IV).
  • Gráfico 3D: superfície em sela z=xy, corte por y=x dá parábola positiva, por y=-x dá parábola negativa; retas nos cortes x= constante ou y= constante. Ponto de sela em (0,0,0).

Resposta

Curvas de nível: \{(x,y)\mid xy=c\} (hipérboles y=c/x para c\neq0; para c=0 os eixos x=0 ou y=0).
Gráfico: superfície de sela dada por z=xy com ponto crítico na origem (0,0,0) (sela), cortes por y=x e y=-x iguais a z=x^2 e z=-x^2, respectivamente.

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