Para cada c plote alguns pontos: por exemplo, se c=1 então y=1/x. Pontos fáceis: (1,1), (2,0,5), (\tfrac12,2), (-1,-1).
Para c=-1: pontos (1,-1), (2,-\tfrac12), (-1,1).
Use esses pontos e a aparência de hipérbole com assíntotas x=0 e y=0 para esboçar cada curva. Lembre-se: curvas para c>0 ficam em quadrantes I e III; para c<0 em II e IV; c=0 são os eixos.
Passo 6
Como esboçar as curvas de nível rapidamente na prova (receita prática):
Trace os eixos x e y e marque a origem.
Desenhe a curva c=0 como os dois eixos.
Para c>0, desenhe hipérboles nos quadrantes I e III com formato y=c/x. Comece plotando (1,c),\\ (2,c/2),\\ (\tfrac12,2c) para visualizar a forma.
Para c<0, desenhe hipérboles nos quadrantes II e IV. Ex.: (1,c),\\ (2,c/2) (aqui c é negativo).
Lembre-se das assíntotas: as curvas se aproximam de x=0 e y=0 sem tocar (exceto c=0, que são as próprias retas).
Passo 7
Agora o gráfico tridimensional z=f(x,y)=xy: interpretação e seções.
O gráfico é a superfície formada por pontos (x,y,z) tais que
z=xy.
Algumas observações úteis para desenhar a superfície:
Se fixo x=x_0 a superfície intersecta o plano x=x_0 na reta
z=x_0 y,que é uma reta (linear em y) passando pela origem do plano x=x_0 com inclinação x_0.
Se fixo y=y_0 a interseção no plano y=y_0 é
z=y_0 x,também uma reta (linear em x).
Isto significa que a superfície é formada por retas em direções diferentes — característica típica de uma superfície chamada “paraboloide hiperbólico” ou, mais simplesmente aqui, uma “sela” (saddle surface).
Cortes importantes:
Corte por y=x: então z=x^2, uma parábola que abre para cima no plano contendo a reta y=x.
Corte por y=-x: então z=-x^2, uma parábola que abre para baixo no plano contendo a reta y=-x.
Esses dois cortes perpendiculares mostram claramente o comportamento de sela: numa direção a superfície sobe (parábola positiva), na outra direção desce (parábola negativa).
Passo 8
Ponto crítico e natureza (sela) — um pouco de cálculo para justificar.
Essa Hessiana tem autovalores 1 e -1 (produtos positivos e negativos), o que indica um ponto de sela no ponto crítico (0,0,0).
Conclusão: o gráfico z=xy tem uma sela na origem — sobe em algumas direções e desce em outras.]
Passo 9
Como esboçar o gráfico 3D na prova (passo a passo prático):
Desenhe os eixos x, y e z. Localize a origem (0,0,0).
Marque que sobre as linhas x=0 ou y=0 a altura é z=0 (isto é, a superfície corta o plano z=0 ao longo dos eixos x e y).
Em torno da reta y=x a superfície sobe formando uma parábola z=x^2. Em torno da reta y=-x a superfície desce formando z=-x^2.
Para outros planos x=x_0 a superfície é uma reta z=x_0 y; para y=y_0 é reta z=y_0 x. Use algumas dessas retas como guias para desenhar a “malha” da superfície.
Combine as direções crescentes e decrescentes para desenhar a sela: em quadrantes onde x e y têm o mesmo sinal (I e III) a superfície está acima do plano z=0; onde têm sinais opostos (II e IV) está abaixo.
Não se esqueça de mostrar a origem como ponto de sela (não é máximo nem mínimo).
Passo 10
Resumo visual mental (o que você deve ter no papel):
Curvas de nível: família xy=c que são hipérboles para c\neq0 e os eixos para c=0. Desenhe algumas hipérboles positivas (I e III) e negativas (II e IV).
Gráfico 3D: superfície em sela z=xy, corte por y=x dá parábola positiva, por y=-x dá parábola negativa; retas nos cortes x= constante ou y= constante. Ponto de sela em (0,0,0).
Resposta
Curvas de nível: \{(x,y)\mid xy=c\} (hipérboles y=c/x para c\neq0; para c=0 os eixos x=0 ou y=0).
Gráfico: superfície de sela dada por z=xy com ponto crítico na origem (0,0,0) (sela), cortes por y=x e y=-x iguais a z=x^2 e z=-x^2, respectivamente.