Seja \alpha: I \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma curva parametrizada e seja \vec{v} \in \mathbb{R}^{2} um vetor fixado. Admita que \alpha^{\prime}(t) seja ortogonal a \vec{v} para todo t \in I e que \alpha(0) também é ortogonal a v. Prove que \alpha(t) é ortogonal a v para todo t \in I.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Há uma curva parametrizada \alpha: I \to \mathbb{R}^2, onde I é um intervalo.
  • Existe um vetor fixo \vec{v}\in\mathbb{R}^2.
  • Para todo t\in I, o vetor tangente \alpha'(t) é ortogonal a \vec{v}.
  • A posição inicial \alpha(0) é ortogonal a \vec{v}.
O que se pede: provar que \alpha(t) é ortogonal a \vec{v} para todo t\in I (ou seja, que o produto escalar \langle \alpha(t),\vec{v}\rangle é zero para todo t\in I).

Passo 2

Lembrando o que significa “ortogonal”: dois vetores a,b\in\mathbb{R}^2 são ortogonais exatamente quando o produto escalar deles é zero. Ou seja, a\perp b se, e somente se, \langle a,b\rangle=0.
Vou trabalhar com a função escalar que mede esse produto escalar entre \alpha(t) e \vec{v}. Defina
f(t)=\langle \alpha(t),\vec{v}\rangle,\qquad t\in I.
Note que a hipótese “ \alpha(0) é ortogonal a \vec{v}” diz precisamente que
f(0)=\langle \alpha(0),\vec{v}\rangle=0.

Passo 3

Quero ver como f varia com t. Para isso uso a regra de derivação do produto escalar. Como \vec{v} é um vetor constante (independente de t), tem-se, componente a componente, que se \alpha(t)=(x(t),y(t)) e \vec{v}=(v_1,v_2), então
f(t)=x(t)v_1+y(t)v_2,
e portanto
f'(t)=x'(t)v_1+y'(t)v_2=\langle \alpha'(t),\vec{v}\rangle.
Esta é a justificativa elementar da fórmula \dfrac{d}{dt}\langle \alpha(t),\vec{v}\rangle=\langle \alpha'(t),\vec{v}\rangle.

Passo 4

Pela hipótese do enunciado, para todo t\in I temos \alpha'(t)\perp\vec{v}, isto é \langle \alpha'(t),\vec{v}\rangle=0. Usando a expressão da derivada obtida no passo anterior, isso implica
f'(t)=\langle \alpha'(t),\vec{v}\rangle=0\qquad\text{para todo }t\in I.

Passo 5

Se uma função f tem derivada zero em todo o intervalo I, então f é constante em I. (Isto pode ser visto pelo Teorema do Valor Médio: para qualquer t\in I existe c entre 0 e t tal que f(t)-f(0)=f'\text{(c)}(t-0)=0, logo f(t)=f(0).) Como já sabemos que f(0)=0, segue que
f(t)=0\qquad\text{para todo }t\in I.

Passo 6

Voltando à definição de f, a igualdade f(t)=0 é exatamente
\langle \alpha(t),\vec{v}\rangle=0\qquad\text{para todo }t\in I,
ou seja, \alpha(t) é ortogonal a \vec{v} para todo t\in I. Geometricamente: a componente de \alpha(t) na direção de \vec{v} é constante no tempo, e como essa componente vale zero em t=0, permanece nula sempre.

Resposta

\langle \alpha(t),\vec{v}\rangle=0 para todo t\in I.

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