Seja
uma curva parametrizada e seja
um vetor fixado. Admita que
seja ortogonal a
para todo
e que
também é ortogonal a
. Prove que
é ortogonal a
para todo
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há uma curva parametrizada
, onde é um intervalo. - Existe um vetor fixo
. - Para todo
, o vetor tangente é ortogonal a . - A posição inicial
é ortogonal a .
O que se pede: provar que
é ortogonal a
para todo
(ou seja, que o produto escalar
é zero para todo
).
Passo 2
Lembrando o que significa “ortogonal”: dois vetores
são ortogonais exatamente quando o produto escalar deles é zero. Ou seja,
se, e somente se,
.
Vou trabalhar com a função escalar que mede esse produto escalar entre
e
. Defina
Note que a hipótese “
é ortogonal a
” diz precisamente que
Passo 3
Quero ver como
varia com
. Para isso uso a regra de derivação do produto escalar. Como
é um vetor constante (independente de
), tem-se, componente a componente, que se
e
, então
e portanto
Esta é a justificativa elementar da fórmula
.
Passo 4
Pela hipótese do enunciado, para todo
temos
, isto é
. Usando a expressão da derivada obtida no passo anterior, isso implica
Passo 5
Se uma função
tem derivada zero em todo o intervalo
, então
é constante em
. (Isto pode ser visto pelo Teorema do Valor Médio: para qualquer
existe
entre
e
tal que
, logo
.) Como já sabemos que
, segue que
Passo 6
Voltando à definição de
, a igualdade
é exatamente
ou seja,
é ortogonal a
para todo
. Geometricamente: a componente de
na direção de
é constante no tempo, e como essa componente vale zero em
, permanece nula sempre.