Em um cíclotron, a energia máxima é proporcional a z^{2}=m_{0} c^{2}. Considere que uma máquina dessas é capaz de acelerar prótons ( \mathrm{m}_{\mathrm{P}}= 938,272 \mathrm{MeV} / \mathrm{c}^{2} ) a máxima energia de 1000 MeV. (a) Quais as energias cinéticas máximas às quais dêuteron ( m_{D}=1875,613 \mathrm{MeV} / \mathrm{c}^{2} ) e partículas \alpha ( \mathrm{m}_{\alpha}=3727,379 \mathrm{MeV} / \mathrm{c}^{2} ) podem ser acelerados? (b) Calcule S_{\text {Tot }} na água ( \mathrm{I}=78 \mathrm{eV} ) para prótons desprezando a correção de camada, contudo, a correção para a densidade não deve ser ignorada e, neste caso, \delta=0,0238. Use a regra de Bragg (apresentada abaixo) e os dados da Tabela 2 para determinar (Z / A)_{\text {água }}á.
\frac{Z}{A}=\sum_{i}^{n} \omega_{i}(Z / A)_{i}
Em que i é o componente individual do composto, \omega_{i} é a fração em massa do componente individual i e (Z / A)_{i} á a razão entre o número atômico e o número de massa atômica do componente individual i.

Passo 1

O enunciado trata de um cíclotron que, para prótons de massa m_{P}=938{,}272\;\mathrm{MeV}/c^{2} e carga z_{P}=+1, atinge energia cinética máxima T_{P}^{\max}=1000\;\mathrm{MeV}.
(a) Pede-se as energias cinéticas máximas de déuterons m_{D}=1875{,}613\;\mathrm{MeV}/c^{2}, z_{D}=+1 e partículas- \alpha m_{\alpha}=3727{,}379\;\mathrm{MeV}/c^{2}, z_{\alpha}=+2.
(b) Para prótons de T=1000\;\mathrm{MeV}, calcule o poder de parada total em água, usando a fórmula de Bethe sem correção de camada, mas com correção de densidade \delta=0{,}0238. A água tem I=78\;\mathrm{eV} e sua razão (Z/A) é obtida pela regra de Bragg.

Passo 2

No cíclotron a energia cinética máxima satisfaz
T_{\max}\propto\frac{z^{2}}{m}\,,
logo, para qualquer outra partícula i,
T_{i}^{\max} = T_{P}^{\max}\,\frac{(z_{i}^{2}/m_{i})}{(z_{P}^{2}/m_{P})} =1000\;\mathrm{MeV}\,\frac{z_{i}^{2}/m_{i}}{1^{2}/m_{P}}.
(a.1) Para o déuteron z_{D}=1:
T_{D}^{\max} =1000\;\mathrm{MeV}\,\frac{1^{2}/1875{,}613}{1/938{,}272} =1000\;\mathrm{MeV}\,\frac{938{,}272}{1875{,}613} \approx 500\;\mathrm{MeV}.
(a.2) Para a partícula- \alpha z_{\alpha}=2:
T_{\alpha}^{\max} =1000\;\mathrm{MeV}\,\frac{2^{2}/3727{,}379}{1/938{,}272} =1000\,\frac{4\cdot938{,}272}{3727{,}379} \approx1006{,}8\;\mathrm{MeV}.

Passo 3

Antes de aplicar a fórmula de Bethe, determinamos (Z/A)_{\rm água}á pela regra de Bragg para H_{2}O:
massa total =2\cdot1+16=18,
\omega_{H}=\frac{2}{18}=0{,}1111,\quad \omega_{O}=\frac{16}{18}=0{,}8889,
\Bigl(\tfrac{Z}{A}\Bigr)_{H}=1,\quad \Bigl(\tfrac{Z}{A}\Bigr)_{O}=\frac{8}{16}=0{,}5,
\Bigl(\tfrac{Z}{A}\Bigr)_{\rm água} =\omega_{H}\,1+\omega_{O}\,0{,}5 =0{,}1111+0{,}8889\cdot0{,}5 =0{,}5556.á

Passo 4

Para prótons com T=1000\;\mathrm{MeV}, a energia total é
E_{\rm tot}=T+m_{P}c^{2}=1000+938{,}272=1938{,}272\;\mathrm{MeV},
\gamma=\frac{E_{\rm tot}}{m_{P}c^{2}} =\frac{1938{,}272}{938{,}272}\approx2{,}065, \quad \beta^{2}=1-\frac{1}{\gamma^{2}} \approx1-\frac{1}{4{,}267}\approx0{,}7655.

Passo 5

A fórmula de Bethe (poder de parada em massa) sem correção de camada e com correção de densidade é
\frac{1}{\rho}\,\frac{dE}{dx} =K\,z^{2}\,\frac{Z}{A}\,\frac{1}{\beta^{2}} \Biggl[\ln\frac{2\,m_{e}c^{2}\,\beta^{2}\,\gamma^{2}}{I} -\beta^{2}-\frac{\delta}{2}\Biggr],
onde
K=0{,}3071\;\frac{\mathrm{MeV}\,\mathrm{cm}^{2}}{\mathrm{g}},\quad z=1,\quad \Bigl(\tfrac{Z}{A}\Bigr)_{\rm água}=0{,}5556,\quad I=78\;\mathrm{eV}=7{,}8\times10^{-5}\;\mathrm{MeV},\quad \delta/2=0{,}0119.á
Calculemos o logaritmo:
2\,m_{e}c^{2}\,\beta^{2}\,\gamma^{2} =2\cdot0{,}511\cdot0{,}7655\cdot4{,}267\approx3{,}337\;\mathrm{MeV},
\ln\frac{3{,}337}{7{,}8\times10^{-5}} =\ln(4{,}2808\times10^{4}) \approx10{,}663.
Então
\frac{1}{\rho}\,\frac{dE}{dx} =0{,}3071\;\frac{\mathrm{MeV\,cm^{2}}}{\mathrm{g}} \cdot\frac{0{,}5556}{0{,}7655} \bigl[10{,}663-0{,}7655-0{,}0119\bigr] \approx2{,}20\;\frac{\mathrm{MeV\,cm^{2}}}{\mathrm{g}}.

Passo 6

Convertendo para poder de parada linear em água \rho=1\;\mathrm{g/cm^{3}}:
\frac{dE}{dx} =\rho\;\frac{1}{\rho}\frac{dE}{dx} \approx1\;\mathrm{g/cm^{3}}\times2{,}20\;\frac{\mathrm{MeV\,cm^{2}}}{\mathrm{g}} =2{,}20\;\mathrm{MeV/cm}.

Resposta

(a) T_{D}^{\max}\approx500\;\mathrm{MeV}, T_{\alpha}^{\max}\approx1007\;\mathrm{MeV}.
(b) (Z/A)_{\rm água}=0{,}5556á. O poder de parada em massa é \displaystyle\frac{1}{\rho}\frac{dE}{dx}\approx2{,}20\;\mathrm{MeV\,cm^{2}/g},
logo dE/dx\approx2{,}20\;\mathrm{MeV/cm}.

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