Qual é a máxima energia que pode ser transferida a um elétron orbital numa colisão dura por um elétron, pósitron, próton, partícula \alpha, todos com 25,0 \mathrm{MeV} de energia cinética? Dados: \mathrm{m}_{\mathrm{P}} \mathrm{c}^{2}=938,28 \mathrm{MeV} e \mathrm{m}_{\alpha} \mathrm{c}^{2}=3727,41 \mathrm{MeV}.
elétron

Passo 1

O enunciado quer a energia máxima T_{\max} transferida a um elétron orbital (massa m_e) por colisão dura com uma partícula incidente de massa M e energia cinética T=25{,}0\:\mathrm{MeV}. Usaremos cinemática relativística de colisões bidimensionais e a fórmula padrão para T_{\max}.

Passo 2

Partindo de conservação de energia e momento, mostra-se que a energia máxima transferida ao elétron é
T_{\max} = \frac{2\,m_e c^2\,\beta^2\gamma^2} {1 + 2\,\gamma\,\frac{m_e}{M} + \Bigl(\frac{m_e}{M}\Bigr)^2},
onde
\gamma = 1 + \frac{T}{M c^2}, \quad \beta^2 = 1 - \frac{1}{\gamma^2}.

Passo 3

Para elétron M=m_e e também para pósitron M=m_e vale m_e/M=1. Então o denominador fica 1+2\gamma+1=2(1+\gamma) e
T_{\max} = \frac{2\,m_e c^2(\gamma^2-1)}{2(1+\gamma)} = m_e c^2\frac{\gamma^2-1}{1+\gamma} = m_e c^2(\gamma-1) = T.
Logo
T_{\max}^{(e^-/e^+)} = 25{,}0\:\mathrm{MeV}.

Passo 4

Para próton: M c^2=938{,}28\:\mathrm{MeV}.
\gamma = 1 + \frac{25{,}0}{938{,}28} = 1{,}02663, \quad \gamma^2-1=0{,}05494.
Como m_e c^2=0{,}511\:\mathrm{MeV} e m_e/M=0{,}511/938{,}28=5{,}446\times10^{-4}, temos
\text{num} = 2\,(0{,}511)\,(0{,}05494) = 0{,}05615\:\mathrm{MeV}, \quad \text{den} = 1 + 2\,(1{,}02663)(5{,}446\times10^{-4}) + (5{,}446\times10^{-4})^2 \approx 1{,}00112.
Portanto
T_{\max}^{(p)} \approx \frac{0{,}05615}{1{,}00112} = 0{,}0561\:\mathrm{MeV} = 56{,}1\:\mathrm{keV}.

Passo 5

Para partícula \alpha: M c^2=3727{,}41\:\mathrm{MeV}.
\gamma = 1 + \frac{25{,}0}{3727{,}41} = 1{,}00671, \quad \gamma^2-1=0{,}01345, \quad m_e/M=0{,}511/3727{,}41=1{,}37\times10^{-4}.
Então
\text{num} = 2\,(0{,}511)\,(0{,}01345) = 0{,}01375\:\mathrm{MeV}, \quad \text{den} \approx 1 + 2\,(1{,}00671)(1{,}37\times10^{-4}) = 1{,}000276.
Logo
T_{\max}^{(\alpha)} \approx \frac{0{,}01375}{1{,}000276} = 0{,}0137\:\mathrm{MeV} = 13{,}7\:\mathrm{keV}.

Resposta

Para T=25{,}0\:\mathrm{MeV}:
elétron ou pósitron: T_{\max}=25{,}0\:\mathrm{MeV}
próton: T_{\max}=0{,}0561\:\mathrm{MeV} (56,1 keV)
partícula \alpha: T_{\max}=0{,}0137\:\mathrm{MeV} (13,7 keV)

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