Calcule S_{\text {Tot }} na água para um próton ( \mathrm{m}_{\mathrm{P}}= 938,3 \mathrm{MeV} / \mathrm{c}^{2} ) com \mathrm{E}_{\mathrm{K}}=100 \mathrm{MeV}. Desconsidere as correções da camada e da densidade. Considere que para a água \mathrm{I}=75 \mathrm{eV}.

Passo 1

O enunciado pede o poder de parada (mass stopping power) total S_{\rm Tot}=-\frac{1}{\rho}\frac{dE}{dx} de um próton em água, com energia cinética E_K=100,MeV, usando a fórmula de Bethe–Bloch sem correções de camada nem de densidade. Precisamos de:
– massa do próton M=938{,}3,MeV/ c^2
– água com razão átomo/massa Z/A\approx10/18
– potencial médio de excitação I=75,eV =7{,}5\times10^{-5},MeV
– constantes: m_e c^2=0{,}511,MeV, K=0{,}307075,MeV cm ^2/g.

Passo 2

Calcular \gamma e \beta:
\gamma = 1 + \frac{E_K}{M} = 1 + \frac{100}{938{,}3} \approx 1{,}1065,
\beta^2 = 1 - \frac{1}{\gamma^2} = 1 - \frac{1}{(1{,}1065)^2} \approx 0{,}1829.

Passo 3

Determinar T_{\max}, energia máxima transferível num choque com elétron (aprox. M\gg m_e):
T_{\max} \approx 2\,m_e c^2\,\beta^2\,\gamma^2 =2\times0{,}511\times0{,}1829\times(1{,}1065)^2 \approx0{,}229\text{ MeV}.

Passo 4

Montar o argumento do logaritmo
A=\frac{2\,m_e c^2\,\beta^2\,\gamma^2\,T_{\max}}{I^2} =\frac{0{,}229\;\mathrm{MeV}\times0{,}229\;\mathrm{MeV}}{(7{,}5\times10^{-5}\;\mathrm{MeV})^2} \approx9{,}33\times10^6,
\ln A \approx \ln(9{,}33\times10^6)\approx16{,}05.

Passo 5

Usar a fórmula de Bethe–Bloch (massa):
S_{\rm Tot} =\!-\frac{1}{\rho}\frac{dE}{dx} =K\,\frac{Z}{A}\,\frac{1}{\beta^2} \Bigl[\tfrac12\ln A-\beta^2\Bigr].
Substituindo valores:
\frac{Z}{A}=\frac{10}{18}\approx0{,}5556, \quad \frac1{\beta^2}\approx5{,}464, \quad \tfrac12\ln A-\beta^2 =\tfrac12\cdot16{,}05-0{,}1829\approx7{,}842.
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S_{\rm Tot} =0{,}307075\times0{,}5556\times5{,}464\times7{,}842 \approx7{,}3\;\mathrm{MeV\,cm^2/g}.

Resposta

S_{\rm Tot}\approx7{,}3 MeV cm ^2/g, o que para água \rho\approx1 g/cm ^3 dá cerca de 7{,}3 MeV/cm.

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