Em uma cidade,
dos adolescentes acessam a internet. Em uma amostra de 100 pessoas, podemos aproximar a distribuição da porcentagem de adolescentes que acessam a internet usando uma distribuição normal. Usando conhecimentos sobre a distribuição amostral da proporção, encontre:
a) A média da proporção amostral.
b) O desvio padrão da proporção amostral.
c) A probabilidade de que menos de
dos adolescentes acessem a internet.
a) A média da proporção amostral.
b) O desvio padrão da proporção amostral.
c) A probabilidade de que menos de
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (lista dos dados e do que é pedido):
- A proporção verdadeira de adolescentes que acessam a internet na cidade é
(ou seja, ). - O tamanho da amostra é
. - O enunciado pede:
(a) a média da proporção amostral;
(b) o desvio padrão da proporção amostral;
(c) a probabilidade de que menos dedos adolescentes da amostra acessem a internet (ou seja, ).
Passo 2
Média da proporção amostral — fórmula, significado e cálculo.
- Conceito rápido: a proporção amostral
é a fração de sucessos (aqui: adolescentes que acessam a internet) na amostra. A média (esperança) dessa distribuição amostral é igual à proporção verdadeira da população. - Fórmula usada:
onde
é a média da proporção amostral e
é a proporção populacional verdadeira.
- Substituindo os valores dados:
Portanto, a média da proporção amostral é
.
Passo 3
Desvio padrão da proporção amostral — por que essa fórmula e cálculo passo a passo.
- Intuição e origem da fórmula: cada observação é uma Bernoulli (sucesso com probabilidade
, fracasso com probabilidade ). A variância de uma Bernoulli é . Para a proporção amostral (média de Bernoullis), a variância divide por , logo a variância de é . O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. - Fórmula:
onde
é o desvio padrão da proporção amostral.
- Cálculo passo a passo com os números:
Portanto, o desvio padrão da proporção amostral é
.
Passo 4
Probabilidade de que menos de
na amostra acessem a internet — uso da aproximação normal, verificação de condições e cálculo.
- Regra prática para usar a aproximação normal: a distribuição amostral de
pode ser aproximada por uma normal quando e são ambos pelo menos aproximadamente 10. Aqui:
Ambos são
(o segundo é exatamente 10), então a aproximação normal é aceitável (ainda que seja borderline em relação ao
, mas normalmente aceitável em exercícios).
- Assim, aproximamos:
- Para calcular
usamos a padronização (transformar em padrão):
- Calculando o
-score correspondente a :
- Interpretação:
. Esse valor de é extremamente negativo; em tabelas da normal padrão ou usando calculadora, a probabilidade associada é praticamente (uma quantidade astronomicamente pequena, desprezível). Em termos práticos na prova, pode-se afirmar:
- Observação intuitiva: esperar menos de
quando a verdadeira proporção é e a amostra tem é virtualmente impossível — isso explica por que o resultado é praticamente zero.
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)