Em uma cidade, 90 \% dos adolescentes acessam a internet. Em uma amostra de 100 pessoas, podemos aproximar a distribuição da porcentagem de adolescentes que acessam a internet usando uma distribuição normal. Usando conhecimentos sobre a distribuição amostral da proporção, encontre:
a) A média da proporção amostral.
b) O desvio padrão da proporção amostral.
c) A probabilidade de que menos de 50 \% dos adolescentes acessem a internet.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (lista dos dados e do que é pedido):
  • A proporção verdadeira de adolescentes que acessam a internet na cidade é p=0{,}90 (ou seja, 90\%).
  • O tamanho da amostra é n=100.
  • O enunciado pede:
    (a) a média da proporção amostral;
    (b) o desvio padrão da proporção amostral;
    (c) a probabilidade de que menos de 50\% dos adolescentes da amostra acessem a internet (ou seja, \Pr(\hat p<0{,}50)).

Passo 2

Média da proporção amostral — fórmula, significado e cálculo.
  • Conceito rápido: a proporção amostral \hat p é a fração de sucessos (aqui: adolescentes que acessam a internet) na amostra. A média (esperança) dessa distribuição amostral é igual à proporção verdadeira da população.
  • Fórmula usada:
\mu_{\hat p} = p,
onde \mu_{\hat p} é a média da proporção amostral e p é a proporção populacional verdadeira.
  • Substituindo os valores dados:
\mu_{\hat p} = 0{,}90.
Portanto, a média da proporção amostral é \;0{,}90.

Passo 3

Desvio padrão da proporção amostral — por que essa fórmula e cálculo passo a passo.
  • Intuição e origem da fórmula: cada observação é uma Bernoulli (sucesso com probabilidade p, fracasso com probabilidade 1-p). A variância de uma Bernoulli é p(1-p). Para a proporção amostral \hat p (média de n Bernoullis), a variância divide por n, logo a variância de \hat p é \dfrac{p(1-p)}{n}. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância.
  • Fórmula:
\sigma_{\hat p}=\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}},
onde \sigma_{\hat p} é o desvio padrão da proporção amostral.
  • Cálculo passo a passo com os números:
p(1-p)=0{,}90\cdot0{,}10=0{,}09,
\dfrac{p(1-p)}{n}=\dfrac{0{,}09}{100}=0{,}0009,
\sigma_{\hat p}=\sqrt{0{,}0009}=0{,}03.
Portanto, o desvio padrão da proporção amostral é \;0{,}03.

Passo 4

Probabilidade de que menos de 50\% na amostra acessem a internet — uso da aproximação normal, verificação de condições e cálculo.
  • Regra prática para usar a aproximação normal: a distribuição amostral de \hat p pode ser aproximada por uma normal quando n p e n(1-p) são ambos pelo menos aproximadamente 10. Aqui:
n p = 100\cdot0{,}90 = 90 \quad\text{e}\quad n(1-p)=100\cdot0{,}10=10.
Ambos são \ge 10 (o segundo é exatamente 10), então a aproximação normal é aceitável (ainda que seja borderline em relação ao n(1-p), mas normalmente aceitável em exercícios).
  • Assim, aproximamos:
\hat p \approx N\!\left(p,\; \sigma_{\hat p}^2\right)=N\!\left(0{,}90,\;0{,}03^2\right).
  • Para calcular \Pr(\hat p<0{,}50) usamos a padronização (transformar em Z padrão):
Z=\dfrac{\hat p - p}{\sigma_{\hat p}}.
  • Calculando o z-score correspondente a \hat p=0{,}50:
z=\dfrac{0{,}50-0{,}90}{0{,}03}=\dfrac{-0{,}40}{0{,}03}=-13{,}333\ldots
  • Interpretação: \Pr(\hat p<0{,}50)=\Pr\big(Z<-13{,}33\big). Esse valor de z é extremamente negativo; em tabelas da normal padrão ou usando calculadora, a probabilidade associada é praticamente 0 (uma quantidade astronomicamente pequena, desprezível). Em termos práticos na prova, pode-se afirmar:
\Pr(\hat p<0{,}50)\approx 0.
  • Observação intuitiva: esperar menos de 50\% quando a verdadeira proporção é 90\% e a amostra tem n=100 é virtualmente impossível — isso explica por que o resultado é praticamente zero.

Resposta

a) 0{,}90
b) 0{,}03
c) \approx 0

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