Sabe-se que a média dos preços de certo produto, nos estabelecimentos comerciais de uma região, é de \mathrm{R} 78,00com desvio padrão de\mathrm{R} 12,00. Se uma amostra de 100 estabelecimentos dessa região for sorteada para avaliar o preço desse produto, qual é a probabilidade de que a média dessa amostra:
Seja inferior a \mathrm{R} 80,00$ ?
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente os números que temos):
Média populacional do preço: \mu=78,00.
Desvio padrão populacional: \sigma=12,00.
Tamanho da amostra: n=100.
Pergunta: qual a probabilidade de que a média da amostra seja inferior a \mathrm{R}\$\,80,00, ou seja, calcular \mathbb{P}\big(\overline{X}<80,00\big).
Passo 2
Entender o que usar — distribuição da média amostral.
Quando tiramos uma amostra de tamanho n de uma população com média \mu e desvio padrão \sigma, a média amostral \overline{X} tem média \mu_{\overline{X}}=\mu e desvio padrão (erro padrão)
\sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Se n for grande (ou a população for normal), a distribuição de \overline{X} é aproximadamente normal (Teorema Central do Limite). Aqui n=100 é grande, então podemos modelar
Portanto transformar o problema em um problema com a Normal Padrão Z é a via prática: calcular o escore z correspondente ao valor 80,00 e usar a função de distribuição acumulada da normal padrão \Phi.
Consultando uma tabela da normal padrão ou calculadora, obtemos
\Phi(1,666\ldots)\approx0,9522.
Isto significa que a probabilidade pedida é aproximadamente 95,22\%.
Passo 6
Interpretação curta e encorajamento: com amostras de tamanho 100 o desvio da média amostral fica pequeno (1,20), então é bastante provável que a média da amostra esteja abaixo de \mathrm{R}\$\,80,00. Resultado final pronto — confere rápido na prova: calcule o erro padrão, transforme em z e leia na tabela.