Sabe-se que a média dos preços de certo produto, nos estabelecimentos comerciais de uma região, é de \mathrm{R} 78,00 com desvio padrão deã\mathrm{R} 12,00. Se uma amostra de 100 estabelecimentos dessa região for sorteada para avaliar o preço desse produto, qual é a probabilidade de que a média dessa amostra:
Seja inferior a \mathrm{R} 80,00$ ?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente os números que temos):
  • Média populacional do preço: \mu=78,00.
  • Desvio padrão populacional: \sigma=12,00.
  • Tamanho da amostra: n=100.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que a média da amostra seja inferior a \mathrm{R}\$\,80,00, ou seja, calcular \mathbb{P}\big(\overline{X}<80,00\big).

Passo 2

Entender o que usar — distribuição da média amostral.
  • Quando tiramos uma amostra de tamanho n de uma população com média \mu e desvio padrão \sigma, a média amostral \overline{X} tem média \mu_{\overline{X}}=\mu e desvio padrão (erro padrão)
\sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
  • Se n for grande (ou a população for normal), a distribuição de \overline{X} é aproximadamente normal (Teorema Central do Limite). Aqui n=100 é grande, então podemos modelar
\overline{X}\sim N\!\left(\mu,\;\sigma_{\overline{X}}^{2}\right).
  • Portanto transformar o problema em um problema com a Normal Padrão Z é a via prática: calcular o escore z correspondente ao valor 80,00 e usar a função de distribuição acumulada da normal padrão \Phi.

Passo 3

Calcular o erro padrão \sigma_{\overline{X}}:
\sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{12,00}{\sqrt{100}}=\frac{12,00}{10}=1,20.

Passo 4

Calcular o escore z para \overline{X}=80,00:
z=\frac{80,00-\mu}{\sigma_{\overline{X}}}=\frac{80,00-78,00}{1,20}=\frac{2,00}{1,20}=1,\overline{6}\approx1,666\ldots
(ou seja z=\tfrac{5}{3}\approx1,6667).

Passo 5

Converter para probabilidade usando a Normal Padrão:
\mathbb{P}\big(\overline{X}<80,00\big)=\mathbb{P}\big(Z<1,666\ldots\big)=\Phi(1,666\ldots).
Consultando uma tabela da normal padrão ou calculadora, obtemos
\Phi(1,666\ldots)\approx0,9522.
Isto significa que a probabilidade pedida é aproximadamente 95,22\%.

Passo 6

Interpretação curta e encorajamento: com amostras de tamanho 100 o desvio da média amostral fica pequeno ( 1,20), então é bastante provável que a média da amostra esteja abaixo de \mathrm{R}\$\,80,00. Resultado final pronto — confere rápido na prova: calcule o erro padrão, transforme em z e leia na tabela.

Resposta

\;0,9522\\ \big(\approx 95,22\%\big)

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