Uma cidade registrou a maior variação de temperatura do ano, com a mínima de 5^{\circ} \mathrm{C} e a máxima de 35^{\circ} \mathrm{C}.
Suponha que placas de certo material estejam sendo instaladas para cobrir uma superficie. Serāo usadas quatro placas com 400 \mathrm{~cm}^{2}, perfeitamente ajustadas e sem folga entre elas.
A equipe de engenharia prevê que as dimensões das placas irão variar devido à dilatação e contração térmica. Assim, estipulam uma variação máxima permitida de 0,5 \mathrm{~cm}^{2} na área de cada placa, baseados na variação de temperatura deste dia.
Material coeficiente de dilatação linear { }^{\circ} \mathrm{C}
aço 11.10^{-6}
cobre 17.10^{-6}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Temperaturas mínima e máxima: \,T_{\min}=5^\circ\mathrm{C} e \,T_{\max}=35^\circ\mathrm{C}.
  • Área inicial de cada placa: \,A_0=400\\ \mathrm{cm}^2.
  • Variação máxima permitida na área de cada placa: \,(\Delta A)_{\max}=0,5\\ \mathrm{cm}^2.
  • Coeficientes de dilatação linear (dados):
    • aço: \,\alpha_{\text{aço}}=11\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}ç.
    • cobre: \,\alpha_{\text{cobre}}=17\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • O que é pedido: calcular a variação de área esperada \Delta A para cada material quando a temperatura varia de 5^\circ\mathrm{C} para 35^\circ\mathrm{C} e verificar se essa variação é menor ou igual a 0,5\\ \mathrm{cm}^2 (ou seja, se cada material atende ao critério).

Passo 2

Explicando a teoria que vamos usar (passo a passo, sem pular etapas).
Quando um corpo isotrópico (que se expande igualmente em todas as direções) tem coeficiente linear de dilatação \alpha, um comprimento inicial L_0 passa a valer aproximadamente
L=L_0\big(1+\alpha\,\Delta T\big),
onde \Delta T é a variação de temperatura. Se uma placa tem dois lados (comprimento e largura) que se expandem da mesma forma, a nova área A é
A = L\cdot W = L_0\big(1+\alpha\Delta T\big)\cdot W_0\big(1+\alpha\Delta T\big)=A_0\big(1+\alpha\Delta T\big)^2.
Expandindo e desprezando o termo de ordem \alpha^2 (porque \alpha é muito pequeno, da ordem de 10^{-6}), obtemos a aproximação linear
A \approx A_0\big(1+2\alpha\Delta T\big).
Portanto a variação de área é aproximadamente
\Delta A = A-A_0 \approx 2\alpha\,\Delta T\,A_0.
Comentário sobre desprezar \alpha^2: como \alpha\sim10^{-6}, tem-se \alpha^2\sim10^{-12}, que quando multiplicado por A_0 (centenas) dá contribuição irrelevante para nossa precisão prática.

Passo 3

Calcular a variação de temperatura \Delta T.
\Delta T = T_{\max}-T_{\min}=35^\circ\mathrm{C}-5^\circ\mathrm{C}=30^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Aplicar a fórmula para o aço, com contas bem detalhadas.
Fórmula:
\Delta A_{\text{aço}} \approx 2\alpha_{\text{aço}}\,\Delta T\,A_0.çç
Substituindo os valores:
\Delta A_{\text{aço}} \approx 2\cdot\big(11\times10^{-6}\big)\cdot 30 \cdot 400.ç
Fazendo as multiplicações passo a passo:
2\cdot 11=22,\qquad 22\cdot 30=660,\qquad 660\cdot 400=264000.
Agora o fator 10^{-6}:
264000\times10^{-6}=264000\cdot 0,000001=0,264.
Logo
\Delta A_{\text{aço}} \approx 0,264\\ \mathrm{cm}^2.ç
Comparação com o máximo permitido:
0,264\\ \mathrm{cm}^2 < 0,5\\ \mathrm{cm}^2,
portanto, para o aço a variação está dentro do limite permitido.

Passo 5

Aplicar a fórmula para o cobre, com os mesmos detalhes.
Fórmula:
\Delta A_{\text{cobre}} \approx 2\alpha_{\text{cobre}}\,\Delta T\,A_0.
Substituindo:
\Delta A_{\text{cobre}} \approx 2\cdot\big(17\times10^{-6}\big)\cdot 30 \cdot 400.
Multiplicando passo a passo:
2\cdot 17=34,\qquad 34\cdot 30=1020,\qquad 1020\cdot 400=408000.
Aplicando 10^{-6}:
408000\times10^{-6}=408000\cdot 0,000001=0,408.
Logo
\Delta A_{\text{cobre}} \approx 0,408\\ \mathrm{cm}^2.
Comparação com o máximo permitido:
0,408\\ \mathrm{cm}^2 < 0,5\\ \mathrm{cm}^2,
portanto, para o cobre a variação também está dentro do limite permitido.

Passo 6

Interpretação final e observações práticas (curta e útil).
  • Ambos os valores calculados são bem menores que 0,5\\ \mathrm{cm}^2, logo tanto o aço quanto o cobre atendem ao critério de variação de área por placa para a faixa de temperatura dada.
  • Para ter noção da margem: o aço tem folga de 0,5-0,264=0,236\\ \mathrm{cm}^2 e o cobre tem folga de 0,5-0,408=0,092\\ \mathrm{cm}^2. Ou seja, o aço oferece margem maior contra exceder o limite.
  • Dica prática para prova: memorize a relação \Delta A\approx2\alpha A_0\Delta T e sempre calcule \Delta T primeiro; as contas normalmente reduzem a multiplicações inteiras que dá para fazer sem calculadora.

Resposta

\Delta A_{\text{aço}}\approx0,264\\ \mathrm{cm}^2ç (atende, pois 0,264<0,5).
\Delta A_{\text{cobre}}\approx0,408\\ \mathrm{cm}^2 (atende, pois 0,408<0,5).

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