Uma cidade registrou a maior variação de temperatura do ano, com a mínima de
e a máxima de
.
Suponha que placas de certo material estejam sendo instaladas para cobrir uma superficie. Serāo usadas quatro placas com
, perfeitamente ajustadas e sem folga entre elas.
A equipe de engenharia prevê que as dimensões das placas irão variar devido à dilatação e contração térmica. Assim, estipulam uma variação máxima permitida de
na área de cada placa, baseados na variação de temperatura deste dia.
Material
coeficiente de dilatação linear
aço
cobre
Suponha que placas de certo material estejam sendo instaladas para cobrir uma superficie. Serāo usadas quatro placas com
A equipe de engenharia prevê que as dimensões das placas irão variar devido à dilatação e contração térmica. Assim, estipulam uma variação máxima permitida de
| Material | coeficiente de dilatação linear
|
| aço |
|
| cobre |
|
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
- Temperaturas mínima e máxima:
e . - Área inicial de cada placa:
. - Variação máxima permitida na área de cada placa:
. - Coeficientes de dilatação linear (dados):
- aço:
. - cobre:
.
- aço:
- O que é pedido: calcular a variação de área esperada
para cada material quando a temperatura varia de para e verificar se essa variação é menor ou igual a (ou seja, se cada material atende ao critério).
Passo 2
Explicando a teoria que vamos usar (passo a passo, sem pular etapas).
Quando um corpo isotrópico (que se expande igualmente em todas as direções) tem coeficiente linear de dilatação
, um comprimento inicial
passa a valer aproximadamente
onde
é a variação de temperatura. Se uma placa tem dois lados (comprimento e largura) que se expandem da mesma forma, a nova área
é
Expandindo e desprezando o termo de ordem
(porque
é muito pequeno, da ordem de
), obtemos a aproximação linear
Portanto a variação de área é aproximadamente
Comentário sobre desprezar
: como
, tem-se
, que quando multiplicado por
(centenas) dá contribuição irrelevante para nossa precisão prática.
Passo 3
Calcular a variação de temperatura
.
Passo 4
Aplicar a fórmula para o aço, com contas bem detalhadas.
Fórmula:
Substituindo os valores:
Fazendo as multiplicações passo a passo:
Agora o fator
:
Logo
Comparação com o máximo permitido:
portanto, para o aço a variação está dentro do limite permitido.
Passo 5
Aplicar a fórmula para o cobre, com os mesmos detalhes.
Fórmula:
Substituindo:
Multiplicando passo a passo:
Aplicando
:
Logo
Comparação com o máximo permitido:
portanto, para o cobre a variação também está dentro do limite permitido.
Passo 6
Interpretação final e observações práticas (curta e útil).
- Ambos os valores calculados são bem menores que
, logo tanto o aço quanto o cobre atendem ao critério de variação de área por placa para a faixa de temperatura dada. - Para ter noção da margem: o aço tem folga de
e o cobre tem folga de . Ou seja, o aço oferece margem maior contra exceder o limite. - Dica prática para prova: memorize a relação
e sempre calcule primeiro; as contas normalmente reduzem a multiplicações inteiras que dá para fazer sem calculadora.