Um retângulo tem área inicial de 0.2 \mathrm{~m}^{2}. Quando aquecido, sua área aumenta para 0,20002 \mathrm{~m}^{2} devido à dilatação superficial. Se a variação da temperatura foi de 50^{\circ} \mathrm{C}, qual é o coeficiente de dilatação linear do material?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma quantidade específica.
  • Dados fornecidos:
    • Área inicial: A_0 = 0,2\\ \mathrm{m}^2.
    • Área final (após aquecimento): A = 0,20002\\ \mathrm{m}^2.
    • Variação de temperatura: \Delta T = 50^\circ\mathrm{C}.
  • O que é pedido:
    • Determinar o coeficiente de dilatação linear \alpha do material (unidade: ^\circ\mathrm{C}^{-1}).

Passo 2

Entender a relação entre dilatação linear e dilatação superficial (de área) — derivação e fórmulas que vamos usar.
  • Se uma dimensão linear L de um corpo sofre dilatação linear pequena ao aumentar a temperatura de \Delta T, o novo comprimento fica aproximadamente
L' = L\,(1+\alpha\,\Delta T),
onde \alpha é o coeficiente de dilatação linear. Aqui L e L' são comprimentos e \alpha tem unidades de ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Para uma placa (ou retângulo) com dois comprimentos L_x e L_y, a área original é A_0 = L_xL_y. Após dilatação:
A = L_x' L_y' = L_x L_y\,(1+\alpha\,\Delta T)^2 = A_0\,(1+\alpha\,\Delta T)^2.
Esta expressão é exata (assumindo expansão isotrópica igual nas duas direções).
  • Para variações pequenas (quando \alpha\,\Delta T é muito menor que 1) podemos aproximar usando expansão de binômio:
(1+\alpha\,\Delta T)^2 \approx 1 + 2\alpha\,\Delta T.
Assim, a variação de área \Delta A = A - A_0 satisfaz aproximadamente
\Delta A \approx 2\alpha\,A_0\,\Delta T.
Essa fórmula é a que normalmente se usa por ser simples e suficiente quando a dilatação é pequena.

Passo 3

Calcular a variação de área \Delta A com os números dados (pegando as áreas do enunciado).
  • Subtrair a área inicial da final:
\Delta A = A - A_0 = 0,20002 - 0,2 = 0,00002\\ \mathrm{m}^2.
  • Em notação científica isso é
\Delta A = 2\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Usar a fórmula aproximada \Delta A \approx 2\alpha\,A_0\,\Delta T e resolver para \alpha.
  • Isolar \alpha:
\alpha \approx \frac{\Delta A}{2\,A_0\,\Delta T}.
  • Substituir os valores (todos em unidades já consistentes):
\alpha \approx \frac{0,00002}{2\cdot0,2\cdot50}.
  • Calcular o denominador:
2\cdot0,2\cdot50 = 20.
  • Portanto
\alpha \approx \frac{0,00002}{20} = 0,000001 = 1\times10^{-6}\\ \,^\circ\mathrm{C}^{-1}.

Passo 5

Verificação usando a fórmula exata (sem aproximar) para confirmar que o resultado coincide, já que a dilatação é muito pequena.
  • Da relação exata A = A_0(1+\alpha\,\Delta T)^2 temos
1+\alpha\,\Delta T = \sqrt{\frac{A}{A_0}}.
  • Calcular a razão das áreas (pegando os números do enunciado):
\frac{A}{A_0} = \frac{0,20002}{0,2} = 1,0001.
  • Tomando raiz quadrada:
\sqrt{1,0001} \approx 1,00005.
  • Logo
\alpha = \frac{1,00005-1}{50} = \frac{0,00005}{50} = 1\times10^{-6}\\ \,^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Conclusão: o valor exato confirma a aproximação.

Passo 6

Interpretação final e comentário prático (um incentivo rápido).
  • O coeficiente de dilatação linear encontrado é muito pequeno: \alpha = 1\times10^{-6}\\ \,^\circ\mathrm{C}^{-1}. Isso faz sentido porque a variação de área observada é minúscula apesar de \Delta T=50^\circ\mathrm{C}.
  • Vai dar tudo certo na prova — revisa este procedimento (usar \Delta A \approx 2\alpha A_0\Delta T e, se quiser precisão, usar a fórmula exata) que é padrão em problemas de dilatação.

Resposta

\alpha = 1\times10^{-6}\\ \,^\circ\mathrm{C}^{-1}

Exercícios relacionados