Um retângulo tem área inicial de
. Quando aquecido, sua área aumenta para
devido à dilatação superficial. Se a variação da temperatura foi de
, qual é o coeficiente de dilatação linear do material?
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma quantidade específica.
-
Dados fornecidos:
- Área inicial:
. - Área final (após aquecimento):
. - Variação de temperatura:
.
- Área inicial:
-
O que é pedido:
- Determinar o coeficiente de dilatação linear
do material (unidade: ).
- Determinar o coeficiente de dilatação linear
Passo 2
Entender a relação entre dilatação linear e dilatação superficial (de área) — derivação e fórmulas que vamos usar.
- Se uma dimensão linear
de um corpo sofre dilatação linear pequena ao aumentar a temperatura de , o novo comprimento fica aproximadamente
onde
é o coeficiente de dilatação linear. Aqui
e
são comprimentos e
tem unidades de
.
- Para uma placa (ou retângulo) com dois comprimentos
e , a área original é . Após dilatação:
Esta expressão é exata (assumindo expansão isotrópica igual nas duas direções).
- Para variações pequenas (quando
é muito menor que 1) podemos aproximar usando expansão de binômio:
Assim, a variação de área
satisfaz aproximadamente
Essa fórmula é a que normalmente se usa por ser simples e suficiente quando a dilatação é pequena.
Passo 3
Calcular a variação de área
com os números dados (pegando as áreas do enunciado).
- Subtrair a área inicial da final:
- Em notação científica isso é
Passo 4
Usar a fórmula aproximada
e resolver para
.
- Isolar
:
- Substituir os valores (todos em unidades já consistentes):
- Calcular o denominador:
- Portanto
Passo 5
Verificação usando a fórmula exata (sem aproximar) para confirmar que o resultado coincide, já que a dilatação é muito pequena.
- Da relação exata
temos
- Calcular a razão das áreas (pegando os números do enunciado):
- Tomando raiz quadrada:
- Logo
- Conclusão: o valor exato confirma a aproximação.
Passo 6
Interpretação final e comentário prático (um incentivo rápido).
- O coeficiente de dilatação linear encontrado é muito pequeno:
. Isso faz sentido porque a variação de área observada é minúscula apesar de . - Vai dar tudo certo na prova — revisa este procedimento (usar
e, se quiser precisão, usar a fórmula exata) que é padrão em problemas de dilatação.