- Um cilindro circular reto tem um volume de
. Expresse a altura do cilindro como função de seu raio.
Passo 1
O enunciado dá claramente uma informação e faz um pedido:
- Informação dada:
- O volume do cilindro é
.
- O volume do cilindro é
- Pedido:
- Expressar a altura do cilindro como função do seu raio, ou seja, encontrar
em função de .
- Expressar a altura do cilindro como função do seu raio, ou seja, encontrar
Passo 2
Recordando a fórmula que relaciona volume, base e altura de um cilindro circular reto:
- A base do cilindro é um círculo de raio
. A área da base é a área do círculo, dada por . Aqui: -
é a constante (aprox. ), -
é o raio da base (em ), -
tem unidade .
-
- O volume de um cilindro é a área da base multiplicada pela altura
. Portanto a fórmula do volume é
Nesta fórmula:
-
é o volume (em ), -
é o raio (em ), -
é a altura (em ).
Passo 3
Substituir na fórmula o valor conhecido do volume. Como no enunciado
, temos a equação
Passo 4
Isolar
na equação anterior, passo a passo:
- Dividir ambos os lados por
(assumindo ):
- Observações sobre domínio e unidades:
- Matemática e fisicamente o raio deve ser positivo, então
. - A altura
resultante tem unidade , porque .
- Matemática e fisicamente o raio deve ser positivo, então
Passo 5
Interpretação didática (como usar essa função numa prova):
- A função
mostra que, para manter o volume fixo, se o raio aumenta a altura diminui — por causa do no denominador. - Limites intuitivos:
- Se
então (base muito pequena exige altura enorme para manter o volume). - Se
então (base muito grande exige altura pequena).
- Se
- Se quiser verificar monotonicidade rapidamente, calcule a derivada (não pedida, mas útil):
que é negativa para todo
, confirmando que
é estritamente decrescente em
.
- Exemplo numérico para praticar: escolher
. - Calcular
:
- Calcular