1. Um cilindro circular reto tem um volume de 400 \mathrm{~cm}^{3}. Expresse a altura do cilindro como função de seu raio.

Passo 1

O enunciado dá claramente uma informação e faz um pedido:
  • Informação dada:
    • O volume do cilindro é V=400\\ \mathrm{cm}^3.
  • Pedido:
    • Expressar a altura do cilindro como função do seu raio, ou seja, encontrar h em função de r.

Passo 2

Recordando a fórmula que relaciona volume, base e altura de um cilindro circular reto:
  • A base do cilindro é um círculo de raio r. A área da base é a área do círculo, dada por \pi r^{2}. Aqui:
    • \pi é a constante (aprox. 3{,}14159\ldots),
    • r é o raio da base (em \mathrm{cm}),
    • \pi r^{2} tem unidade \mathrm{cm}^{2}.
  • O volume de um cilindro é a área da base multiplicada pela altura h. Portanto a fórmula do volume é
V=\pi r^{2}h.
Nesta fórmula:
  • V é o volume (em \mathrm{cm}^{3}),
  • r é o raio (em \mathrm{cm}),
  • h é a altura (em \mathrm{cm}).

Passo 3

Substituir na fórmula o valor conhecido do volume. Como no enunciado V=400\\ \mathrm{cm}^3, temos a equação
400=\pi r^{2}h.

Passo 4

Isolar h na equação anterior, passo a passo:
  • Dividir ambos os lados por \pi r^{2} (assumindo r\neq0):
h=\frac{400}{\pi r^{2}}.
  • Observações sobre domínio e unidades:
    • Matemática e fisicamente o raio deve ser positivo, então r>0.
    • A altura h resultante tem unidade \mathrm{cm}, porque \dfrac{\mathrm{cm}^{3}}{\mathrm{cm}^{2}}=\mathrm{cm}.

Passo 5

Interpretação didática (como usar essa função numa prova):
  • A função h(r)=\dfrac{400}{\pi r^{2}} mostra que, para manter o volume fixo, se o raio aumenta a altura diminui — por causa do r^{2} no denominador.
  • Limites intuitivos:
    • Se r\to0^{+} então h\to+\infty (base muito pequena exige altura enorme para manter o volume).
    • Se r\to+\infty então h\to0^{+} (base muito grande exige altura pequena).
  • Se quiser verificar monotonicidade rapidamente, calcule a derivada (não pedida, mas útil):
h'(r)=-\frac{800}{\pi r^{3}},
que é negativa para todo r>0, confirmando que h é estritamente decrescente em r>0.
  • Exemplo numérico para praticar: escolher r=2\\ \mathrm{cm}.
    • Calcular h:
    h=\frac{400}{\pi\cdot 2^{2}}=\frac{400}{4\pi}=\frac{100}{\pi}\approx 31{,}83\\ \mathrm{cm}.

Resposta

h(r)=\dfrac{400}{\pi r^{2}},\quad r>0

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