Esboce os gráficos das funções e determine o conjunto domínio e o conjunto imagem de cada função.
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}5 & \text { se } x<1 \\\ \frac{1}{2} x-3 & \text { se } x \geq 2\end{array}\right.

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • A função é dada por
f(x)=\begin{cases} 5 & \text{se } x<1,\\[4pt] \dfrac{1}{2}x-3 & \text{se } x\ge 2. \end{cases}
  • O enunciado pede:
    • Esboçar os gráficos de cada ramo da função (mostrar como ficam no plano);
    • Determinar o conjunto domínio de f;
    • Determinar o conjunto imagem (intervalo de valores que f assume).]

Passo 2

Entendendo o domínio: o domínio é o conjunto de todos os x para os quais a função está definida. Aqui temos dois ramos e as condições de definição:
  • O primeiro ramo está definido para todos os x tais que x<1. Isso corresponde ao intervalo (-\infty,1).
  • O segundo ramo está definido para todos os x tais que x\ge 2. Isso corresponde ao intervalo [2,\infty).
  • Entre 1 e 2 (isto é, no intervalo [1,2) ou (1,2)) a função NÃO foi definida por nenhum dos ramos.
Logo, pelo exame direto das condições, o domínio é a união dos dois intervalos onde a função está dada: (-\infty,1)\cup[2,\infty). Note que x=1 não pertence ao domínio e x=2 pertence.

Passo 3

Como esboçar o gráfico — instruções e pontos-chave.
  • Primeiro ramo: \,f(x)=5 para x<1.
    • É uma reta horizontal (linha) na altura y=5.
    • Ela se estende para a esquerda até -\infty, mas para a direita só até x=1, sem incluir x=1. No ponto x=1 deve ser desenhado um círculo aberto em (1,5) (pois x=1 não está no domínio).
  • Segundo ramo: \,f(x)=\dfrac{1}{2}x-3 para x\ge 2.
    • É uma reta de declive (slope) \dfrac{1}{2} e intercepto em y=-3.
    • Calcule alguns pontos para orientar o desenho:
      • Para x=2: f(2)=\dfrac{1}{2}\cdot 2-3=1-3=-2. Como x=2 pertence ao domínio, desenha-se um ponto fechado (cheio) em (2,-2).
      • Para x=4: f(4)=\dfrac{1}{2}\cdot4-3=2-3=-1.
      • Para x=16: f(16)=\dfrac{1}{2}\cdot16-3=8-3=5. Isso mostra que a reta, para x suficientemente grande, atinge y=5 (neste caso em x=16). O ponto (16,5) pertence ao gráfico (ponto fechado).
    • A reta cresce lentamente (declive 1/2) e continua para +\infty quando x\to+\infty.
Resumo do esboço mental/visual:
  • À esquerda: linha horizontal y=5 para todos x<1, com círculo aberto em (1,5).
  • À direita: segmento contínuo (na verdade semi-reta) que começa em (2,-2) com ponto fechado e sobe com declive 1/2, passando por (16,5) e continuando para cima indefinidamente.
  • Há um “buraco” no domínio entre 1 e 2: nada é desenhado aí.

Passo 4

Determinar a imagem (conjunto de valores assumidos por f) — passo a passo e a teoria usada.
  • Conceito rápido: a imagem (ou conjunto-valor) de f é o conjunto de todos os números y para os quais existe algum x no domínio com f(x)=y.
Trate cada ramo separadamente e depois faça a união:
  1. Imagem do primeiro ramo \,f(x)=5 para x<1.
    • Esse ramo assume apenas o valor y=5. Então a imagem desse ramo é o conjunto \{5\}.
  2. Imagem do segundo ramo \,f(x)=\dfrac{1}{2}x-3 para x\ge 2.
    • Esta é uma função afim linear com declive positivo \dfrac{1}{2}. Para funções lineares do tipo \dfrac{1}{2}x-3 restritas a um intervalo de x, a imagem é o intervalo que vai do valor mínimo ao máximo obtidos nas extremidades (ou \pm\infty se não houver máximo/min).
    • Como a reta tem declive positivo, o menor valor ocorre em x=2 (menor x do domínio desse ramo). Já calculamos f(2)=-2.
    • Quando x\to+\infty, \dfrac{1}{2}x-3\to+\infty. Então a imagem do ramo é o intervalo [-2,\infty) (inclui -2 porque x=2 pertence ao domínio).
    • Para checar que valores intermediários estão realmente presentes, pode-se resolver para x dado um y\ge -2: y=\dfrac{1}{2}x-3 \quad\Longrightarrow\quad x=2(y+3).Se y\ge -2 então x=2(y+3)\ge 2, logo existe x\ge2 que produz esse y. Isso mostra que todo y\ge -2 é realmente atingido.
  3. União das imagens dos dois ramos:
    • Imagem total =\{5\}\cup[-2,\infty) = [-2,\infty), pois \{5\}\subset[-2,\infty) (ex.: 5 é obtido no segundo ramo quando x=16).
Portanto a imagem da função é [-2,\infty).

Passo 5

Observações finais úteis para a prova (curtas e diretas):
  • Domínio: (-\infty,1)\cup[2,\infty).
  • Imagem: [-2,\infty).
  • Continuidade/Pontos importantes:
    • A função não está definida em x=1 e nem em 1<x<2.
    • No ponto x=2 a função está definida e é contínua à direita (pois é ponto interior do ramo linear), mas não há valor à esquerda imediato (porque (1,2) não pertence ao domínio), então não se pode falar de continuidade em 2 no sentido usual de limite bilateral.
    • A mesma altura y=5 aparece por duas razões: pelo ramo constante (qualquer x<1) e também pelo ramo linear (em x=16); isso é permitido e aparece no gráfico como duas partes distintas que atingem o mesmo nível y=5.

Resposta

Domínio: (-\infty,1)\cup[2,\infty)
Imagem: [-2,\infty)

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