Encontre o domínio das funções
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que é pedido: encontrar o domínio de
, ou seja, o conjunto de todos os valores de
para os quais a expressão de
está bem definida como número real.
Informações relevantes que o enunciado dá (e que precisamos usar):
- Há uma raiz quadrada no denominador:
. - Para a raiz quadrada real, o radicando deve ser não-negativo:
. - Como o radicando está no denominador, não podemos ter denominador zero; portanto precisamos de
(estritamente positivo).
Passo 2
Primeiro, factorize o radicando para deixar a desigualdade mais simples de analisar. Calcula-se:
Isso nos transforma o problema em resolver a desigualdade polinomial
Passo 3
Explique por que usamos
e não
:
- Se tivéssemos permitido
, a raiz seria e o denominador seria zero, o que não é permitido. Logo precisamos da condição estrita .
Passo 4
Método para resolver
: considerar os pontos críticos (raízes do polinômio) onde o sinal pode mudar. As raízes são
que dividem a reta real em quatro intervalos:
Em cada intervalo o sinal de cada fator
,
e
é constante, então o sinal do produto também é constante em cada intervalo. Podemos testar um ponto em cada intervalo para determinar o sinal do produto.
Passo 5
Avaliação do sinal em cada intervalo com pontos-teste (mostrando passo a passo):
-
Intervalo
. Escolhe . Produto dos sinais: negativonegativo negativo negativo. Logo o produto é neste intervalo (não serve). -
Intervalo
. Escolhe . Produto: negativonegativo positivo positivo. Logo o produto é neste intervalo (serve). -
Intervalo
. Escolhe . Produto: positivonegativo positivo negativo. Logo o produto é (não serve). -
Intervalo
. Escolhe . Produto: positivopositivo positivo positivo. Logo o produto é (serve).
Passo 6
Agora verifique os pontos críticos
. Em cada um deles o radicando é zero:
Mas
e isso tornaria o denominador zero, portanto esses pontos devem ser excluídos do domínio. Assim só aceitamos os intervalos onde o produto é estritamente positivo, obtidos no passo anterior.
Passo 7
Conclusão do domínio: os intervalos onde
são
e
. Portanto o domínio da função é a união desses intervalos.
Passo 8
Pequena dica didática (para a prova): quando resolver desigualdades polinomiais que se fatoram em fatores lineares distintos, o método mais rápido é:
- fatorar,
- listar as raízes (pontos críticos),
- fazer um quadro de sinais ou testar um ponto em cada intervalo,
- lembrar que raízes de multiplicidade ímpar trocam o sinal e de multiplicidade par não trocam.
Aqui todas as multiplicidades são(ímpares), por isso o sinal muda em cada raiz.