Encontre o domínio das funções \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}.
h(x)=\frac{1}{\sqrt{x\left(x^{2}-4\right)}}

Passo 1

O enunciado dá a função h:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
h(x)=\frac{1}{\sqrt{x\left(x^{2}-4\right)}}.
O que é pedido: encontrar o domínio de h, ou seja, o conjunto de todos os valores de x\in\mathbb{R} para os quais a expressão de h(x) está bem definida como número real.
Informações relevantes que o enunciado dá (e que precisamos usar):
  • Há uma raiz quadrada no denominador: \sqrt{x\left(x^{2}-4\right)}.
  • Para a raiz quadrada real, o radicando deve ser não-negativo: x\left(x^{2}-4\right)\ge 0.
  • Como o radicando está no denominador, não podemos ter denominador zero; portanto precisamos de x\left(x^{2}-4\right)>0 (estritamente positivo).

Passo 2

Primeiro, factorize o radicando para deixar a desigualdade mais simples de analisar. Calcula-se:
x\left(x^{2}-4\right)=x\bigl(x-2\bigr)\bigl(x+2\bigr).
Isso nos transforma o problema em resolver a desigualdade polinomial
x\bigl(x-2\bigr)\bigl(x+2\bigr)>0.

Passo 3

Explique por que usamos >\,0 e não \ge 0:
  • Se tivéssemos permitido =0, a raiz seria \sqrt{0}=0 e o denominador seria zero, o que não é permitido. Logo precisamos da condição estrita \,>0.

Passo 4

Método para resolver x(x-2)(x+2)>0: considerar os pontos críticos (raízes do polinômio) onde o sinal pode mudar. As raízes são
x=-2,\quad x=0,\quad x=2,
que dividem a reta real em quatro intervalos:
(-\infty,-2),\quad (-2,0),\quad (0,2),\quad (2,\infty).
Em cada intervalo o sinal de cada fator x, (x-2) e (x+2) é constante, então o sinal do produto também é constante em cada intervalo. Podemos testar um ponto em cada intervalo para determinar o sinal do produto.

Passo 5

Avaliação do sinal em cada intervalo com pontos-teste (mostrando passo a passo):
  • Intervalo (-\infty,-2). Escolhe x=-3.
    x=-3\Rightarrow x<0 \,(\text{negativo}),\quad x-2=-5\,(\text{negativo}),\quad x+2=-1\,(\text{negativo}).
    Produto dos sinais: negativo \times negativo \times negativo = negativo. Logo o produto é <0 neste intervalo (não serve).
  • Intervalo (-2,0). Escolhe x=-1.
    x=-1\Rightarrow x<0\,(\text{negativo}),\quad x-2=-3\,(\text{negativo}),\quad x+2=1\,(\text{positivo}).
    Produto: negativo \times negativo \times positivo = positivo. Logo o produto é >0 neste intervalo (serve).
  • Intervalo (0,2). Escolhe x=1.
    x=1\Rightarrow x>0\,(\text{positivo}),\quad x-2=-1\,(\text{negativo}),\quad x+2=3\,(\text{positivo}).
    Produto: positivo \times negativo \times positivo = negativo. Logo o produto é <0 (não serve).
  • Intervalo (2,\infty). Escolhe x=3.
    x=3\Rightarrow x>0\,(\text{positivo}),\quad x-2=1\,(\text{positivo}),\quad x+2=5\,(\text{positivo}).
    Produto: positivo \times positivo \times positivo = positivo. Logo o produto é >0 (serve).

Passo 6

Agora verifique os pontos críticos x=-2,0,2. Em cada um deles o radicando é zero:
x\bigl(x-2\bigr)\bigl(x+2\bigr)=0 \quad\text{quando}\quad x\in\{-2,0,2\}.
Mas \sqrt{0}=0 e isso tornaria o denominador zero, portanto esses pontos devem ser excluídos do domínio. Assim só aceitamos os intervalos onde o produto é estritamente positivo, obtidos no passo anterior.

Passo 7

Conclusão do domínio: os intervalos onde x(x-2)(x+2)>0 são (-2,0) e (2,\infty). Portanto o domínio da função é a união desses intervalos.

Passo 8

Pequena dica didática (para a prova): quando resolver desigualdades polinomiais que se fatoram em fatores lineares distintos, o método mais rápido é:
  • fatorar,
  • listar as raízes (pontos críticos),
  • fazer um quadro de sinais ou testar um ponto em cada intervalo,
  • lembrar que raízes de multiplicidade ímpar trocam o sinal e de multiplicidade par não trocam.
    Aqui todas as multiplicidades são 1 (ímpares), por isso o sinal muda em cada raiz.

Resposta

( -2,0 ) \cup ( 2,\infty )

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