Um cilindro contém 15,0 \mathrm{~g} de \mathrm{CH}_{4} em 1,50 \mathrm{~L} a 45^{\circ} \mathrm{C}. (a) Usando a lei dos gases ideais, calcule a pressão do gás (em atm). (b) Recalcule a pressão considerando o comportamento de gás real pela equação de van der Waals. ( \mathrm{a}=2,253 \mathrm{~atm} \cdot \mathrm{~L}^{2} \cdot \mathrm{~mol}^{-2} \mathrm{e} \left.\mathrm{b}=0,0428 \mathrm{~L} \cdot \mathrm{~mol}^{-1}\right).

Passo 1

O enunciado pergunta duas coisas:
(a) Calcular a pressão do gás usando a lei dos gases ideais, em atm.
(b) Recalcular a pressão usando a equação de van der Waals, com os parâmetros fornecidos.
Informações dadas:
\text{massa de } \mathrm{CH}_4 = 15{,}0\\ \mathrm{g}
V = 1{,}50\\ \mathrm{L}
T = 45^\circ\mathrm{C}
a = 2{,}253\\ \mathrm{atm\cdot L^2\cdot mol^{-2}} (dado)
b = 0{,}0428\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}} (dado)

Passo 2

Primeiro passo prático: transformar a temperatura para Kelvin, porque as leis de gases usam a escala absoluta.
A conversão é
T(\mathrm{K}) = T(^{\circ}\mathrm{C}) + 273{,}15.
Substituindo:
T = 45 + 273{,}15 = 318{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Agora calculo o número de mols de \mathrm{CH}_4.
Massa molar do \mathrm{CH}_4: carbono =12{,}01\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}, hidrogênio =1{,}008\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.
M(\mathrm{CH}_4) = 12{,}01 + 4\times 1{,}008 = 16{,}042\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.
Número de mols:
n = \frac{\text{massa}}{M} = \frac{15{,}0\\ \mathrm{g}}{16{,}042\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}} = 0{,}93563\\ \mathrm{mol}.
(Guardei mais casas decimais para evitar erro de arredondamento nas contas seguintes.)

Passo 4

Agora uso a lei dos gases ideais e explico o que é cada coisa.
A lei dos gases ideais é
PV = nRT,
onde P é a pressão, V o volume, n o número de mols, R a constante universal dos gases, e T a temperatura em Kelvin.
Valor de R (na unidade que dá P em atm quando V está em L, n em mol e T em K) é
R = 0{,}082057\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
Isolando P:
P = \frac{nRT}{V}.
Calculemos primeiro o numerador nRT:
nRT = 0{,}93563\times 0{,}082057\times 318{,}15 = 24{,}42435\\ \mathrm{L\cdot atm}.
(Observe que as unidades se combinam para dar \mathrm{L\cdot atm}, e ao dividir por V em \mathrm{L} obtemos \mathrm{atm}.)
Agora calcule P:
P_{\text{ideal}} = \frac{24{,}42435}{1{,}50} = 16{,}2829\\ \mathrm{atm}.
Arredondando coerentemente com os dados ( 15{,}0\\ \mathrm{g}, 1{,}50\\ \mathrm{L} têm 3 algarismos significativos), obtenho
P_{\text{ideal}} = 16{,}3\\ \mathrm{atm}.

Passo 5

Agora a parte com a equação de van der Waals — explico a equação e o que significam a e b.
A equação de van der Waals é
\left(P + a\frac{n^2}{V^2}\right)(V - nb) = nRT.
Interpretação física rápida (importante para entender por que a pressão muda):
  • O termo a\frac{n^2}{V^2} corrige a pressão ideal para levar em conta as forças de atração entre as moléculas (reduz a pressão efetiva sobre as paredes).
  • O termo nb corrige o volume disponível, subtraindo o volume ocupado pelas próprias partículas (cada molécula ocupa espaço).
Queremos resolver a equação para P. Isolando P:
P = \frac{nRT}{V - nb} - a\frac{n^2}{V^2}.
Essa fórmula é a que vamos usar numericamente.

Passo 6

Calcule nb e V - nb (passo a passo).
nb = 0{,}93563\times 0{,}0428 = 0{,}04004496\\ \mathrm{L}.
V - nb = 1{,}50 - 0{,}04004496 = 1{,}45995504\\ \mathrm{L}.

Passo 7

Calcule a primeira parcela da expressão de P:
\frac{nRT}{V-nb} = \frac{24{,}42435}{1{,}45995504} = 16{,}7208\\ \mathrm{atm}.
(Usei o valor já calculado de nRT = 24{,}42435\\ \mathrm{L\cdot atm}.)

Passo 8

Calcule a correção devido a a:
a\frac{n^2}{V^2} = 2{,}253 \times \frac{(0{,}93563)^2}{(1{,}50)^2}.
Primeiro n^2 = 0{,}93563^2 = 0{,}875403.
\frac{n^2}{V^2} = \frac{0{,}875403}{2{,}25} = 0{,}388001.
Multiplicando por a:
a\frac{n^2}{V^2} = 2{,}253\times 0{,}388001 = 0{,}874866\\ \mathrm{atm}.
Agora subtraio essa correção:
P_{\text{vdW}} = 16{,}7208 - 0{,}874866 = 15{,}8459\\ \mathrm{atm}.
Arredondando com 3 algarismos significativos:
P_{\text{vdW}} = 15{,}8\\ \mathrm{atm}.

Passo 9

Interpretação breve e incentivo: o resultado com van der Waals é menor que o ideal ( 15{,}8\\ \mathrm{atm} versus 16{,}3\\ \mathrm{atm}). Isso faz sentido: as forças atrativas entre moléculas reduzem a pressão observada, então a pressão real fica abaixo da prevista pelo modelo ideal. Bom trabalho até aqui — essa é exatamente a diferença que a física molecular espera!

Resposta

(a) 16{,}3\\ \mathrm{atm}
(b) 15{,}8\\ \mathrm{atm}

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