Um cilindro dielétrico (isolante) de raio
e comprimento infinito possui uma densidade de cargas volumétrica
constante. Determine a diferença de potencial entre um ponto da superfície do cilindro e um ponto situado a uma distância
da sua superfície e localizado (a) no exterior do cilindro e (b) no interior do cilindro.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro infinito dielétrico (ou seja, isolante) com raio $ b $ e uma densidade de carga volumétrica constante $ \rho $. A tarefa é descobrir a diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície do cilindro e outro ponto que está a uma distância $ r $ dessa superfície. Isso precisa ser feito para dois casos: (a) quando o ponto está fora do cilindro e (b) quando está dentro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico em cilindros e como calcular o potencial elétrico a partir dele.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como encontrar o campo elétrico de um cilindro carregado. Usamos a Lei de Gauss, que é super útil para situações com simetria. Para um cilindro infinito, a simetria cilíndrica simplifica nossos cálculos.
Passo 3
Vamos considerar uma superfície gaussiana cilíndrica com raio $ r’ $ e comprimento $ L $. A Lei de Gauss nos diz que:
onde $ Q_{enc} $ é a carga dentro da superfície gaussiana e $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.
Passo 4
Para calcular $ Q_{enc} $, precisamos saber se estamos dentro ou fora do cilindro original:
- Dentro do cilindro ($ r’ < b $): A carga é proporcional ao volume interno.
- Fora do cilindro ($ r’ \geq b $): Toda a carga do cilindro está dentro da superfície gaussiana.
Passo 5
Como o campo elétrico $ \vec{E} $ é radial e constante na superfície gaussiana, a integral da Lei de Gauss simplifica para:
Resolvendo para $ E $:
Passo 6
Substituindo $ Q_{enc} $ nas duas situações:
- Dentro:
- Fora:
Passo 7
Agora, para encontrar a diferença de potencial $ V $, usamos a relação:
Como estamos considerando a diferença entre dois pontos, podemos integrar do ponto na superfície ($ r = b $) até o ponto a uma distância $ r $.
Passo 8
Para o caso (a) fora do cilindro ($ r_{total} = b + r $):
Integrando:
Passo 9
Para o caso (b) dentro do cilindro ($ r_{total} = b - r $):
Integrando:
Resposta
A diferença de potencial entre um ponto na superfície do cilindro e um ponto a uma distância $ r $ da superfície é:
(a) No exterior do cilindro:
(b) No interior do cilindro: