Considere um dipolo elétrico localizado sobre o eixo O y, com a carga +q em y=-a e a carga -q em y=a. (a) Deduza uma expressão para o potencial V em qualquer ponto sobre o eixo O y em função da coordenada y. Considere zero o potencial a uma distância infinita das cargas. (b) Faça um gráfico do potencial sobre o eixo O y em função de y, desde y=-4 a até y=+4 a. © Qual seria a resposta do item (a) se as cargas trocassem de posição, ou seja, se +q fosse localizada em y=+a e -q em y=-a ?

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado diz que temos um dipolo no eixo O y: +q está em y=−a e −q em y=+a.
Conteúdo: potencial elétrico gerado por cargas pontuais e princípio da superposição.
O que vamos precisar:
  1. Definição de potencial de uma carga pontual:
    V( r)=k,dfracqr, onde k=dfrac14pivarepsilon0.
  2. Princípio da superposição: o potencial total é soma dos potenciais de cada carga.
  3. Cálculo da distância na reta y: ri=|y-yi|.

Passo 2

Item (a): deduzir V(y) no eixo O y.
  1. Identifico as distâncias:
    – Distância da carga +q (em y₁=−a) até o ponto y é r1=|,y-(-a),|=|y+a|
    – Distância da carga −q (em y₂=+a) até o ponto y é
    r2=|,y-a,|
  2. Potencial de cada uma: V1(y)=k,+q|y+a|, V2(y)=k,-q|y-a|
    3) Pelo princípio da superposição:
    $$\boxed{V(y)=V_1+V_2=k,q\Bigl(\frac{1}{|y+a|}-\frac{1}{|y-a|}\Bigr).}$$

Passo 3

Item (b): gráfico de V(y) de y=-4a a y=+4a.
  • Conforme y→±∞, os termos 1/|y±a|→0, então Vto0.
  • Em y=0: V(0)=kql(1/a-1/ar)=0.
  • Em y→−a^+: |y+a|→0⁺ ⇒ V→+∞ (singularidade positiva).
  • Em y→+a^−: |y−a|→0⁺ ⇒ V→−∞ (singularidade negativa).
    Entre essas regiões, dá pra esboçar um curva que vai de 0 a +∞ perto de y=−a, volta a zero em y=0, cai a −∞ perto de y=+a e volta a 0 em y=+4a.

Passo 4

Item ©: se trocar as cargas (+q em y=+a e −q em y=−a), basta trocar os sinais:
Vrm trocado(y) =k,ql(1|y-a|-1|y+a|r) =-,k,ql(1|y+a|-1|y-a|r)

Resposta

(a) V(y)=kql(tfrac1|y+a|-tfrac1|y-a|r).
(b) Gráfico: vai de 0 no infinito, diverge para +∞ ao chegar em y=−a, passa por 0 em y=0, diverge para −∞ em y=+a e volta a 0 em y=+4a.
© Com cargas trocadas: V(y)=-,kql(tfrac1|y+a|-tfrac1|y-a|r),.

Exercícios relacionados