Um cilindro fechado de altura
e raio
é colocado em uma região onde o campo magnético é
. Determine o fluxo através da superfície lateral.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o fluxo magnético através da superfície lateral de um cilindro fechado. Informações dadas:
- O cilindro tem altura
e raio . - O campo magnético é
. - Devemos calcular apenas o fluxo através da superfície lateral (a superfície curva), não através das tampas.
- Não há figura adicional; assumimos a orientação usual: o eixo do cilindro é paralelo ao eixo
(vetor ), ou seja, as tampas são planas em planos constante e a superfície lateral tem normais radiais.
Passo 2
Revisão rápida do que é fluxo através de uma superfície: o fluxo magnético total atravessando uma superfície
é
onde
é o vetor normal unitário à superfície (orientado para fora, por convenção) e
é o elemento de área. A ideia é somar (integrar) a componente do campo que atravessa a superfície, ponto a ponto.
Passo 3
Parametrização natural da superfície lateral do cilindro: use coordenadas cilíndricas. Cada ponto da superfície lateral pode ser escrito por dois parâmetros: o ângulo
ao redor do eixo e a coordenada
ao longo da altura. As coordenadas cartesianas do ponto na lateral são
com
e
.
Passo 4
Determinar o vetor normal unitário
à superfície lateral: como a superfície é o cilindro
, o vetor normal (externo) é radial e no plano
. Em termos de
,
Observe que
não tem componente na direção
(direção
), ou seja,
.
Passo 5
Expressar o campo
e calcular o produto escalar com
. O campo é
Fazendo o produto escalar com
obtemos
Como
, sobra apenas a contribuição de
:
Aqui usei
.
Passo 6
Determinar o elemento de área da superfície lateral. Para a superfície parametrizada por
com raio fixo
, o elemento de área é
Explicação curta: um retângulo elemental ao desenrolar a lateral tem comprimento
na direção circumferencial e
na direção axial, então a área é o produto.
Passo 7
Montar a integral do fluxo usando as fórmulas obtidas:
Fatorando as constantes:
Passo 8
Calcular as integrais separadamente. Primeiro a integral em
:
Agora a integral em
:
Passo 9
Concluir o valor do fluxo substituindo os resultados:
Interpretação física curta: a componente do campo que atravessa a lateral vem apenas da componente
do campo; ao integrar ao redor de todo o cilindro, as contribuições positivas e negativas em
se cancelam, resultando em fluxo zero. A componente
do campo não contribui para a lateral porque as normais são perpendiculares a
.