Um cilindro fechado de altura h e raio R é colocado em uma região onde o campo magnético é \vec{B}=B_{0}(\hat{j}-\hat{k}). Determine o fluxo através da superfície lateral.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o fluxo magnético através da superfície lateral de um cilindro fechado. Informações dadas:
  • O cilindro tem altura h e raio R.
  • O campo magnético é \vec{B}=B_{0}(\hat{j}-\hat{k}).
  • Devemos calcular apenas o fluxo através da superfície lateral (a superfície curva), não através das tampas.
  • Não há figura adicional; assumimos a orientação usual: o eixo do cilindro é paralelo ao eixo z (vetor \hat{k}), ou seja, as tampas são planas em planos z= constante e a superfície lateral tem normais radiais.

Passo 2

Revisão rápida do que é fluxo através de uma superfície: o fluxo magnético total atravessando uma superfície S é
\Phi=\iint_{S}\vec{B}\cdot\hat{n}\,dS,
onde \hat{n} é o vetor normal unitário à superfície (orientado para fora, por convenção) e dS é o elemento de área. A ideia é somar (integrar) a componente do campo que atravessa a superfície, ponto a ponto.

Passo 3

Parametrização natural da superfície lateral do cilindro: use coordenadas cilíndricas. Cada ponto da superfície lateral pode ser escrito por dois parâmetros: o ângulo \varphi ao redor do eixo e a coordenada z ao longo da altura. As coordenadas cartesianas do ponto na lateral são
x=R\cos\varphi,\qquad y=R\sin\varphi,\qquad z=z,
com \varphi\in[0,2\pi] e z\in[0,h].

Passo 4

Determinar o vetor normal unitário \hat{n} à superfície lateral: como a superfície é o cilindro r=R, o vetor normal (externo) é radial e no plano xy. Em termos de \varphi,
\hat{n}=\cos\varphi\,\hat{i}+\sin\varphi\,\hat{j}.
Observe que \hat{n} não tem componente na direção \hat{k} (direção z), ou seja, \hat{n}\cdot\hat{k}=0.

Passo 5

Expressar o campo \vec{B} e calcular o produto escalar com \hat{n}. O campo é
\vec{B}=B_{0}(\hat{j}-\hat{k}).
Fazendo o produto escalar com \hat{n} obtemos
\vec{B}\cdot\hat{n}=B_{0}\big(\hat{j}\cdot\hat{n}-\hat{k}\cdot\hat{n}\big).
Como \hat{k}\cdot\hat{n}=0, sobra apenas a contribuição de \hat{j}:
\vec{B}\cdot\hat{n}=B_{0}(\hat{j}\cdot\hat{n})=B_{0}(\sin\varphi).
Aqui usei \hat{j}\cdot(\cos\varphi\,\hat{i}+\sin\varphi\,\hat{j})=\sin\varphi.

Passo 6

Determinar o elemento de área da superfície lateral. Para a superfície parametrizada por (\varphi,z) com raio fixo R, o elemento de área é
dS=R\,d\varphi\,dz.
Explicação curta: um retângulo elemental ao desenrolar a lateral tem comprimento R\,d\varphi na direção circumferencial e dz na direção axial, então a área é o produto.

Passo 7

Montar a integral do fluxo usando as fórmulas obtidas:
\Phi=\iint_{S}\vec{B}\cdot\hat{n}\,dS =\int_{z=0}^{h}\int_{\varphi=0}^{2\pi} B_{0}\sin\varphi \; R\,d\varphi\,dz.
Fatorando as constantes:
\Phi=B_{0}R\int_{0}^{h}\!\!dz\;\int_{0}^{2\pi}\sin\varphi\,d\varphi.

Passo 8

Calcular as integrais separadamente. Primeiro a integral em z:
\int_{0}^{h}dz = h.
Agora a integral em \varphi:
\int_{0}^{2\pi}\sin\varphi\,d\varphi = \big[-\cos\varphi\big]_{0}^{2\pi} = -\cos(2\pi)+\cos(0) = -1+1=0.

Passo 9

Concluir o valor do fluxo substituindo os resultados:
\Phi=B_{0}R\cdot h \cdot 0 = 0.
Interpretação física curta: a componente do campo que atravessa a lateral vem apenas da componente \hat{j} do campo; ao integrar ao redor de todo o cilindro, as contribuições positivas e negativas em \sin\varphi se cancelam, resultando em fluxo zero. A componente -\hat{k} do campo não contribui para a lateral porque as normais são perpendiculares a \hat{k}.

Resposta

\Phi=0

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