Um mol de um gás ideal diatômico parte de
. Depois o gás é aquecido isocoricamente até
e depois se expande adiabaticamente até a pressão ser novamente igual a 1 atm . Depois é resfriado isobaricamente até atingir o estado inicial.
Calcule o rendimento da máquina de Carnot caso operasse nas temperaturas extremas deste ciclo.
Calcule o rendimento da máquina de Carnot caso operasse nas temperaturas extremas deste ciclo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Um mol de gás ideal diatômico parte de pressão
e temperatura inicial . - Esse gás é aquecido isocoricamente até
. - Em seguida sofre uma expansão adiabática reversível até a pressão voltar a
. - Por fim é resfriado isobaricamente até retornar ao estado inicial.
- Pergunta: calcular o rendimento (eficiência) da máquina de Carnot que operaria entre as temperaturas extremas atingidas nesse ciclo.
Informações relevantes que vamos usar (inferidas do enunciado):
- Temperaturas dadas em graus Celsius serão convertidas para Kelvin.
- Para o gás diatômico consideramos a razão de capacidades adiabáticas
(caso usual onde os modos vibracionais estão congelados). - Precisamos identificar a temperatura máxima
e a mínima do ciclo, porque a eficiência de Carnot depende só delas.
Passo 2
Fórmula do ciclo de Carnot e explicação das variáveis:
A eficiência (rendimento) de uma máquina de Carnot que opera entre duas temperaturas absolutas é dada por
Aqui:
-
é a temperatura absoluta (em Kelvin) do reservatório quente. -
é a temperatura absoluta (em Kelvin) do reservatório frio.
Importante: devemos usar temperaturas em Kelvin porque a física termodinâmica exige escala absoluta para razões como
. A conversão é
Passo 3
Determinar a temperatura máxima
:
- A etapa que aquece isocoricamente leva o gás de
até . Portanto a temperatura máxima do ciclo é
Passo 4
Determinar a temperatura mínima
: justificativa cuidadosa
- A temperatura inicial é
. Pode parecer que a expansão adiabática poderia levar a uma temperatura mais baixa que ; precisamos verificar isso. - Primeiro calculemos a pressão logo após o aquecimento isocórico. Em volume constante, a pressão é proporcional à temperatura absoluta (lei dos gases ideais), então
onde
e
. Assim
- A expansão adiabática reversível leva a pressão de
de volta a . Para uma transformação adiabática reversível de gás ideal vale a relação (uma forma útil)
onde
é a temperatura após a expansão e
. Explicando as variáveis:
são pressão e temperatura antes da expansão;
depois;
é a razão
.
- Aplicando os números:
- Avaliando numericamente a potência (mostro passo a passo para você poder fazer sem calculadora aproximando logs ou usando tabela):
- Tome log natural:
. - Multiplique por
: . - Exponencie:
. - Logo
, que corresponde a .
- Tome log natural:
- Conclusão desta verificação:
(após a expansão adiabática) é aproximadamente , que é maior que a temperatura inicial . Então a menor temperatura que ocorre no ciclo é realmente a temperatura inicial:
Passo 5
Calcular a eficiência de Carnot com as temperaturas extremas encontradas:
- Use a fórmula
- Calcule a razão:
- Portanto
- Em porcentagem:
(Arredondei aqui para duas casas decimais percentuais; se quiser mais exatidão mantenha
.)