Um mol de um gás ideal diatômico parte de 1 \mathrm{~atm} \mathrm{e} 0^{\circ} \mathrm{C}. Depois o gás é aquecido isocoricamente até 150^{\circ} \mathrm{C} e depois se expande adiabaticamente até a pressão ser novamente igual a 1 atm . Depois é resfriado isobaricamente até atingir o estado inicial.
Calcule o rendimento da máquina de Carnot caso operasse nas temperaturas extremas deste ciclo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Um mol de gás ideal diatômico parte de pressão P_0=1\\ \text{atm} e temperatura inicial 0^\circ\text{C}.
  • Esse gás é aquecido isocoricamente até 150^\circ\text{C}.
  • Em seguida sofre uma expansão adiabática reversível até a pressão voltar a 1\\ \text{atm}.
  • Por fim é resfriado isobaricamente até retornar ao estado inicial.
  • Pergunta: calcular o rendimento (eficiência) da máquina de Carnot que operaria entre as temperaturas extremas atingidas nesse ciclo.
Informações relevantes que vamos usar (inferidas do enunciado):
  • Temperaturas dadas em graus Celsius serão convertidas para Kelvin.
  • Para o gás diatômico consideramos a razão de capacidades adiabáticas \gamma=\tfrac{7}{5}=1,4 (caso usual onde os modos vibracionais estão congelados).
  • Precisamos identificar a temperatura máxima T_{\text{hot}} e a mínima T_{\text{cold}} do ciclo, porque a eficiência de Carnot depende só delas.

Passo 2

Fórmula do ciclo de Carnot e explicação das variáveis:
A eficiência (rendimento) de uma máquina de Carnot que opera entre duas temperaturas absolutas é dada por
\eta_{\text{C}} = 1 - \frac{T_{\text{cold}}}{T_{\text{hot}}}.
Aqui:
  • T_{\text{hot}} é a temperatura absoluta (em Kelvin) do reservatório quente.
  • T_{\text{cold}} é a temperatura absoluta (em Kelvin) do reservatório frio.
Importante: devemos usar temperaturas em Kelvin porque a física termodinâmica exige escala absoluta para razões como \tfrac{T_{\text{cold}}}{T_{\text{hot}}}. A conversão é
T(\text{K}) = T(^{\circ}\text{C}) + 273{,}15.

Passo 3

Determinar a temperatura máxima T_{\text{hot}}:
  • A etapa que aquece isocoricamente leva o gás de 0^\circ\text{C} até 150^\circ\text{C}. Portanto a temperatura máxima do ciclo é
T_{\text{hot}} = 150^\circ\text{C} + 273{,}15 = 423{,}15\\ \text{K}.

Passo 4

Determinar a temperatura mínima T_{\text{cold}}: justificativa cuidadosa
  • A temperatura inicial é T_0 = 0^\circ\text{C} = 273{,}15\\ \text{K}. Pode parecer que a expansão adiabática poderia levar a uma temperatura mais baixa que T_0; precisamos verificar isso.
  • Primeiro calculemos a pressão logo após o aquecimento isocórico. Em volume constante, a pressão é proporcional à temperatura absoluta (lei dos gases ideais), então
P_1 = P_0 \frac{T_1}{T_0},
onde T_1 = T_{\text{hot}} = 423{,}15\\ \text{K} e T_0 = 273{,}15\\ \text{K}. Assim
P_1 = 1\\ \text{atm}\times\frac{423{,}15}{273{,}15}\approx 1{,}549\\ \text{atm}.
  • A expansão adiabática reversível leva a pressão de P_1 de volta a P_2=1\\ \text{atm}. Para uma transformação adiabática reversível de gás ideal vale a relação (uma forma útil)
\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\!\frac{\gamma-1}{\gamma}},
onde T_2 é a temperatura após a expansão e \gamma=1{,}4. Explicando as variáveis: P_1,T_1 são pressão e temperatura antes da expansão; P_2,T_2 depois; \gamma é a razão C_p/C_v.
  • Aplicando os números:
\frac{\gamma-1}{\gamma}=\frac{1{,}4-1}{1{,}4}=\frac{0{,}4}{1{,}4}=\frac{2}{7}\approx 0{,}285714,
\frac{P_2}{P_1}=\frac{1}{1{,}549}\approx 0{,}645516,
T_2 = T_1\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\!2/7} =423{,}15\\ \text{K}\times(0{,}645516)^{0{,}285714}.
  • Avaliando numericamente a potência (mostro passo a passo para você poder fazer sem calculadora aproximando logs ou usando tabela):
    • Tome log natural: \ln(0{,}645516)\approx -0{,}4376.
    • Multiplique por 2/7: -0{,}4376\times0{,}285714\approx -0{,}1250.
    • Exponencie: \exp(-0{,}1250)\approx 0{,}8825.
    • Logo T_2\approx 423{,}15\times0{,}8825\approx 373{,}3\\ \text{K}, que corresponde a \approx 100{,}2^\circ\text{C}.
  • Conclusão desta verificação: T_2 (após a expansão adiabática) é aproximadamente 373{,}3\\ \text{K}, que é maior que a temperatura inicial T_0=273{,}15\\ \text{K}. Então a menor temperatura que ocorre no ciclo é realmente a temperatura inicial:
T_{\text{cold}} = T_0 = 273{,}15\\ \text{K}.

Passo 5

Calcular a eficiência de Carnot com as temperaturas extremas encontradas:
  • Use a fórmula
\eta_{\text{C}} = 1 - \frac{T_{\text{cold}}}{T_{\text{hot}}} = 1 - \frac{273{,}15}{423{,}15}.
  • Calcule a razão:
\frac{273{,}15}{423{,}15}\approx 0{,}645516.
  • Portanto
\eta_{\text{C}} \approx 1 - 0{,}645516 = 0{,}354484\approx 0{,}3545.
  • Em porcentagem:
\eta_{\text{C}}\approx 35{,}45\%.
(Arredondei aqui para duas casas decimais percentuais; se quiser mais exatidão mantenha 0{,}354484.)

Resposta

\eta_{\text{C}} = 1 - \dfrac{273{,}15}{423{,}15} \approx 0{,}3545
\eta_{\text{C}} \approx 35{,}45\%

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