Determine o volume final ( Vf ) de uma esfera de cobre, de diâmetro =10 \mathrm{~cm}, submetida a tensões esféricas de 120 Mpa .
Dados:
E=11.10^{3} \frac{\mathrm{kgf}}{\mathrm{~mm}^{2}} ; \quad \mu=0,33

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Diâmetro da esfera: 10\\ \mathrm{cm}.
    • Portanto raio inicial: r_{0}=5\\ \mathrm{cm}.
    • Tensão esférica aplicada (todas as três tensões principais iguais): \sigma=120\\ \mathrm{MPa}.
    • Módulo de Young: E=11\cdot10^{3}\\ \dfrac{\mathrm{kgf}}{\mathrm{mm}^{2}}.
    • Coeficiente de Poisson: \mu=0,33.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o volume final V_{f} da esfera após a aplicação dessa tensão esférica.

Passo 2

Entender o que é “tensão esférica” e qual fórmula usar para variação volumétrica.
  • “Tensão esférica” significa que as três componentes principais de tensão são iguais:
    \sigma_{1}=\sigma_{2}=\sigma_{3}=\sigma.
    Esse caso é equivalente a um estado hidrostático (compressão ou tração uniforme).
  • Para materiais elásticos isotrópicos lineares, deformações e tensões relacionam-se pela versão tridimensional da lei de Hooke. A deformação em, por exemplo, x é:
    \varepsilon_x=\dfrac{1}{E}\big(\sigma_x-\mu(\sigma_y+\sigma_z)\big),
    e análogas para \varepsilon_y e \varepsilon_z.
  • A variação volumétrica relativa (deformação volumétrica) é a soma:
    \varepsilon_v=\varepsilon_x+\varepsilon_y+\varepsilon_z.

Passo 3

Derivar a expressão da deformação volumétrica no caso de tensões esféricas (todas iguais).
  • Somando as três componentes com \sigma_x=\sigma_y=\sigma_z=\sigma: \varepsilon_v=\dfrac{1}{E}\big((\sigma-\mu(\sigma+\sigma)) + (\sigma-\mu(\sigma+\sigma)) + (\sigma-\mu(\sigma+\sigma))\big).
  • Simplificando: \varepsilon_v=\dfrac{1}{E}\big(3\sigma-6\mu\sigma\big)=\dfrac{3\sigma(1-2\mu)}{E}.
  • Esta é a fórmula que vamos usar. Ela diz quanto o volume relativo muda: se \varepsilon_v>0 o volume aumenta (tração), se \varepsilon_v<0 o volume diminui (compressão).

Passo 4

Converter unidades de E para compatibilidade com \sigma.
  • A tensão \sigma está em \mathrm{MPa}. O módulo E foi dado em \mathrm{kgf}/\mathrm{mm}^{2}. Usamos a relação 1\\ \dfrac{\mathrm{kgf}}{\mathrm{mm}^{2}} = 9{,}80665\\ \mathrm{MPa}.
  • Portanto E = 11\cdot10^{3}\\ \dfrac{\mathrm{kgf}}{\mathrm{mm}^{2}} = 11000\\ \dfrac{\mathrm{kgf}}{\mathrm{mm}^{2}}.
E = 11000 \times 9{,}80665\\ \mathrm{MPa} = 107873{,}15\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

Calcular a deformação volumétrica \varepsilon_v numericamente.
  • Usando \sigma=120\\ \mathrm{MPa}, \mu=0{,}33 e E=107873{,}15\\ \mathrm{MPa}: \varepsilon_v=\dfrac{3\cdot 120\,(1-2\cdot 0{,}33)}{107873{,}15}.
  • Calcule 1-2\mu: 1-2\mu=1-2(0{,}33)=1-0{,}66=0{,}34.
  • Então \varepsilon_v=\dfrac{3\cdot 120\cdot 0{,}34}{107873{,}15}=\dfrac{122{,}4}{107873{,}15}\approx 0{,}0011344989.

Passo 6

Calcular o volume inicial V_{0} da esfera.
  • Raio inicial r_{0}=5\\ \mathrm{cm}. Usamos volume em \mathrm{cm}^{3}: V_{0}=\dfrac{4}{3}\pi r_{0}^{3}=\dfrac{4}{3}\pi (5)^{3}=\dfrac{4}{3}\pi\cdot125=\dfrac{500}{3}\pi.
  • Valor numérico: V_{0}\approx 523{,}5987756\\ \mathrm{cm}^{3}.

Passo 7

Relacionar \varepsilon_v com o volume final V_{f} e calcular V_{f}.
  • Por definição de deformação volumétrica: \varepsilon_v=\dfrac{V_{f}-V_{0}}{V_{0}}\quad\Rightarrow\quad V_{f}=V_{0}(1+\varepsilon_v).
  • Calculando a variação absoluta: \Delta V=V_{0}\varepsilon_v\approx 523{,}5987756\times 0{,}0011344989\approx 0{,}594716\\ \mathrm{cm}^{3}.

Passo 8

Interpretar sinal e dar os dois casos (tração ou compressão) — o enunciado não especificou sinal.
  • Se a tensão esférica de 120\\ \mathrm{MPa} for de tração (positivo), o volume aumenta: V_{f}=V_{0}+\Delta V\approx 523{,}5987756+0{,}594716\approx 524{,}193492\\ \mathrm{cm}^{3}.
  • Se a tensão esférica de 120\\ \mathrm{MPa} for de compressão (isto é, \sigma=-120\\ \mathrm{MPa}), o volume diminui pelo mesmo módulo: V_{f}=V_{0}-\Delta V\approx 523{,}5987756-0{,}594716\approx 523{,}004060\\ \mathrm{cm}^{3}.

Resposta

V_{f}\\ (\text{tração }+\!120\\ \mathrm{MPa}) \approx 524{,}1935\\ \mathrm{cm}^{3}çã
V_{f}\\ (\text{compressão }-\!120\\ \mathrm{MPa}) \approx 523{,}0041\\ \mathrm{cm}^{3}ã

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