Determine o volume final ( Vf ) de uma esfera de cobre, de diâmetro
, submetida a tensões esféricas de 120 Mpa .
Dados:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados do enunciado:
- Diâmetro da esfera:
. - Portanto raio inicial:
. - Tensão esférica aplicada (todas as três tensões principais iguais):
. - Módulo de Young:
. - Coeficiente de Poisson:
.
- Diâmetro da esfera:
-
O que o enunciado pede:
- Determinar o volume final
da esfera após a aplicação dessa tensão esférica.
- Determinar o volume final
Passo 2
Entender o que é “tensão esférica” e qual fórmula usar para variação volumétrica.
-
“Tensão esférica” significa que as três componentes principais de tensão são iguais:Esse caso é equivalente a um estado hidrostático (compressão ou tração uniforme).
-
Para materiais elásticos isotrópicos lineares, deformações e tensões relacionam-se pela versão tridimensional da lei de Hooke. A deformação em, por exemplo,
é: e análogas parae . -
A variação volumétrica relativa (deformação volumétrica) é a soma:
Passo 3
Derivar a expressão da deformação volumétrica no caso de tensões esféricas (todas iguais).
- Somando as três componentes com
: - Simplificando:
- Esta é a fórmula que vamos usar. Ela diz quanto o volume relativo muda: se
o volume aumenta (tração), se o volume diminui (compressão).
Passo 4
Converter unidades de
para compatibilidade com
.
- A tensão
está em . O módulo foi dado em . Usamos a relação - Portanto
Passo 5
Calcular a deformação volumétrica
numericamente.
- Usando
, e : - Calcule
: - Então
Passo 6
Calcular o volume inicial
da esfera.
- Raio inicial
. Usamos volume em : - Valor numérico:
Passo 7
Relacionar
com o volume final
e calcular
.
- Por definição de deformação volumétrica:
- Calculando a variação absoluta:
Passo 8
Interpretar sinal e dar os dois casos (tração ou compressão) — o enunciado não especificou sinal.
- Se a tensão esférica de
for de tração (positivo), o volume aumenta: - Se a tensão esférica de
for de compressão (isto é, ), o volume diminui pelo mesmo módulo: