3 Um cilindro horizontal, fechado em uma extremidade, é equipado com um pistão móvel. Originalmente, o cilindro contém 1,2 \mathrm{ft}^{3} de gás na pressão de 7,3 atm. Se a pressão contra a face do pistão for reduzida muito lentamente até 1 atm, calcule o trabalho realizado pelo gás sobre o pistão considerando que a seguinte relação é aplicável ao gás: \mathrm{pV}^{1,3}= constante.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
  • Volume inicial: V_1 = 1,2\\ \mathrm{ft}^3.
  • Pressão inicial: p_1 = 7{,}3\\ \mathrm{atm}.
  • Pressão final: p_2 = 1{,}0\\ \mathrm{atm}.
  • Processo politrópico: pV^{1{,}3}= constante (ou seja, n=1{,}3).
  • O que pedir: calcular o trabalho realizado pelo gás sobre o pistão quando a pressão é reduzida lentamente de p_1 para p_2.
Observações práticas (não peço nada, só deixo claro): o trabalho em processos quasistáticos é W=\int p\,dV. Para aplicar isso preciso relacionar p e V (aqui temos a lei politrópica) e determinar o volume final V_2. Também vou apresentar o resultado em unidades de energia usuais (Joule) e faço a conversão para \mathrm{ft\,lbf} para facilitar leitura, já que os dados estão em \mathrm{ft}^3 e \mathrm{atm}.

Passo 2

Entendendo a lei politrópica e como obter V_2.
A relação politrópica é
pV^{n}=\text{constante},
com n=1{,}3. Isso significa que para os estados 1 e 2 vale
p_1 V_1^{n}=p_2 V_2^{n}.
Isolando V_2 obtém-se a expressão que permite calcular o volume final a partir das pressões e do volume inicial:
V_2 = V_1\left(\dfrac{p_1}{p_2}\right)^{1/n}.
Essa fórmula vem de dividir as constantes e resolver para V_2. Aqui 1/n é o recíproco de n.

Passo 3

Calcular numericamente V_2.
Primeiro calculo o expoente:
\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{1{,}3}\approx 0{,}76923077.
Agora aplico a fórmula com os valores dados (tudo em unidades originais de volume):
V_2 = 1{,}2\\ \mathrm{ft}^3\left(\dfrac{7{,}3}{1{,}0}\right)^{0{,}76923077}.
Calculo a potência (faço via logaritmo para explicar o procedimento):
\left(7{,}3\right)^{0{,}76923077} = \exp\!\big(0{,}76923077\cdot\ln 7{,}3\big).
Usando \ln 7{,}3\approx 1{,}987874 obtemos
\left(7{,}3\right)^{0{,}76923077}\approx \exp(1{,}5299)\approx 4{,}616.
Logo
V_2 \approx 1{,}2\times 4{,}616 \approx 5{,}539\\ \mathrm{ft}^3.

Passo 4

Fórmula do trabalho para processo politrópico (derivação curta e entendimento).
O trabalho quasistático realizado pelo gás num processo com pressão p(V) é
W=\int_{V_1}^{V_2} p\,dV.
Para um processo politrópico p=C V^{-n}, onde C é a constante C=p_1V_1^{n}. Então
W = \int_{V_1}^{V_2} C V^{-n} \, dV = \frac{C}{1-n}\left[V^{1-n}\right]_{V_1}^{V_2}.
Agora uso C=p_1V_1^{n}. Observando que C V^{1-n} = p V (pois C V^{1-n}=p_1V_1^{n}V^{1-n}=pV quando V é o volume do estado correspondente), o resultado compacto é a fórmula muito útil
W=\frac{p_2 V_2 - p_1 V_1}{1-n},
válida para n\neq 1. Essa forma evita cálculo separado de C e é prática para calcular o trabalho a partir dos estados inicial e final.

Passo 5

Conversões de unidades para obter o trabalho em Joules (energia SI).
Para usar a fórmula numérica do passo anterior é preciso trabalhar com pressões em pascal e volumes em metros cúbicos, pois \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m}^3=\mathrm{J}.
Constantes de conversão:
1\\ \mathrm{atm}=101325\\ \mathrm{Pa}, \qquad 1\\ \mathrm{ft}^3=0{,}0283168466\\ \mathrm{m}^3.
Converto p_1, p_2, V_1 e V_2:
p_1 = 7{,}3\times 101325 = 739\,672{,}5\\ \mathrm{Pa},
p_2 = 1{,}0\times 101325 = 101\,325\\ \mathrm{Pa},
V_1 = 1{,}2\times 0{,}0283168466 = 0{,}033980216\\ \mathrm{m}^3,
V_2 = 5{,}539\times 0{,}0283168466 \approx 0{,}15675\\ \mathrm{m}^3.

Passo 6

Cálculo numérico do trabalho em Joules.
Primeiro calculo os termos p_1V_1 e p_2V_2 (esses produtos têm diretamente unidade Joule):
p_1V_1 = 739\,672{,}5\times 0{,}033980216 \approx 25\,134{,}64\\ \mathrm{J},
p_2V_2 = 101\,325\times 0{,}15675 \approx 15\,882{,}69\\ \mathrm{J}.
Agora uso a fórmula do passo 4 com n=1{,}3:
W=\frac{p_2V_2 - p_1V_1}{1-n} = \frac{15\,882{,}69 - 25\,134{,}64}{1 - 1{,}3}.
Calculo o numerador:
15\,882{,}69 - 25\,134{,}64 = -9\,251{,}95\\ \mathrm{J}.
E o denominador:
1-n = 1 - 1{,}3 = -0{,}3.
Portanto
W = \dfrac{-9\,251{,}95}{-0{,}3} \approx 30\,839{,}8\\ \mathrm{J}.
Interpretação do sinal: o valor é positivo, ou seja, o gás realiza trabalho sobre o pistão na expansão (como esperado).

Passo 7

Conversões e arredondamentos finais para unidades familiares.
Converter para \mathrm{ft\,lbf} (opcional, porque dados estavam em pés cúbicos):
1\\ \mathrm{J}\approx 0{,}737562\\ \mathrm{ft\,lbf},
W\approx 30\,839{,}8\times 0{,}737562 \approx 22\,745\\ \mathrm{ft\,lbf}.
Também em \mathrm{kJ} e \mathrm{Btu} (apenas referência):
W\approx 30{,}84\\ \mathrm{kJ}, \qquad 1\\ \mathrm{Btu}\approx 1055{,}06\\ \mathrm{J}\Rightarrow W\approx 29{,}23\\ \mathrm{Btu}.

Resposta

W \approx 3{,}084\times 10^{4}\\ \mathrm{J} \approx 22{,}745\\ \mathrm{ft\,lbf}

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