3 Um cilindro horizontal, fechado em uma extremidade, é equipado com um pistão móvel. Originalmente, o cilindro contém
de gás na pressão de 7,3 atm. Se a pressão contra a face do pistão for reduzida muito lentamente até 1 atm, calcule o trabalho realizado pelo gás sobre o pistão considerando que a seguinte relação é aplicável ao gás:
constante.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
- Volume inicial:
. - Pressão inicial:
. - Pressão final:
. - Processo politrópico:
constante (ou seja, ). - O que pedir: calcular o trabalho realizado pelo gás sobre o pistão quando a pressão é reduzida lentamente de
para .
Observações práticas (não peço nada, só deixo claro): o trabalho em processos quasistáticos é
. Para aplicar isso preciso relacionar
e
(aqui temos a lei politrópica) e determinar o volume final
. Também vou apresentar o resultado em unidades de energia usuais (Joule) e faço a conversão para
para facilitar leitura, já que os dados estão em
e
.
Passo 2
Entendendo a lei politrópica e como obter
.
A relação politrópica é
com
. Isso significa que para os estados 1 e 2 vale
Isolando
obtém-se a expressão que permite calcular o volume final a partir das pressões e do volume inicial:
Essa fórmula vem de dividir as constantes e resolver para
. Aqui
é o recíproco de
.
Passo 3
Calcular numericamente
.
Primeiro calculo o expoente:
Agora aplico a fórmula com os valores dados (tudo em unidades originais de volume):
Calculo a potência (faço via logaritmo para explicar o procedimento):
Usando
obtemos
Logo
Passo 4
Fórmula do trabalho para processo politrópico (derivação curta e entendimento).
O trabalho quasistático realizado pelo gás num processo com pressão
é
Para um processo politrópico
, onde
é a constante
. Então
Agora uso
. Observando que
(pois
quando
é o volume do estado correspondente), o resultado compacto é a fórmula muito útil
válida para
. Essa forma evita cálculo separado de
e é prática para calcular o trabalho a partir dos estados inicial e final.
Passo 5
Conversões de unidades para obter o trabalho em Joules (energia SI).
Para usar a fórmula numérica do passo anterior é preciso trabalhar com pressões em pascal e volumes em metros cúbicos, pois
.
Constantes de conversão:
Converto
,
,
e
:
Passo 6
Cálculo numérico do trabalho em Joules.
Primeiro calculo os termos
e
(esses produtos têm diretamente unidade Joule):
Agora uso a fórmula do passo 4 com
:
Calculo o numerador:
E o denominador:
Portanto
Interpretação do sinal: o valor é positivo, ou seja, o gás realiza trabalho sobre o pistão na expansão (como esperado).
Passo 7
Conversões e arredondamentos finais para unidades familiares.
Converter para
(opcional, porque dados estavam em pés cúbicos):
Também em
e
(apenas referência):