A distribuição de temperaturas ao longo de uma parede com espessura de 1 m , em determinado instante de tempo, é dada por
T(x)=a+b x+c x^{2}
na qual T está em graus Celsius e x em metros, enquanto a=900^{\circ} \mathrm{C}, b=-300^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{m}, e c=-50^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}. Uma geração de calor uniforme, \dot{q}=1000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3}, está presente na parede, cuja área é de 10 \mathrm{~m}^{2}. O seu material apresenta as seguintes propriedades: \rho =1600 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, k=40 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}) e c_{p}=4 \mathrm{~kJ} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}).
  1. Determine a taxa de transferência de calor que entra na parede (x=0) e que deixa a parede (x=1 \mathrm{~m}).
  2. Determine a taxa de variação da energia acumulada na parede.
  3. Determine a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo nas posições x =0 ; 0,25 e 0,5 \mathrm{~m}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (pegados do enunciado):
  • A distribuição de temperatura é T(x)=a+b x+c x^{2}
com a=900\\ ^\circ\mathrm{C},\quad b=-300\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m},\quad c=-50\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}.
  • Espessura da parede: \,L=1\\ \mathrm{m}.
  • Área da parede: \,A=10\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Geração volumétrica uniforme: \,\dot{q}=1000\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}.
  • Propriedades do material: \rho=1600\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3},\quad k=40\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}),\quad c_{p}=4{,}0\\ \mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K})=4000\\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}).
O enunciado pede:
  1. A taxa de transferência de calor que entra na parede em x=0 e que sai em x=1\\ \mathrm{m}.
  2. A taxa de variação da energia acumulada na parede (ou seja, a taxa líquida de energia armazenada na parede, em W).
  3. A taxa de variação da temperatura em relação ao tempo \partial T/\partial t nas posições x=0,\;0{,}25,\;0{,}5\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Entendendo e aplicando a lei de Fourier (aula rápida e intuitiva).
  • A lei de condução unidimensional de Fourier diz que o fluxo de calor por condução, ao longo da direção x, por uma área A, é dado por
\dot{Q}_x = -k A \frac{dT}{dx},
onde:
  • \dot{Q}_x é a taxa de calor (W) atravessando a seção A na posição x no sentido positivo de x;
  • k é a condutividade térmica \left(\mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K})\right);
  • \dfrac{dT}{dx} é o gradiente de temperatura (K/m).
  • Sinal: o negativo indica que o calor vai da zona mais quente para a mais fria. Se \dfrac{dT}{dx}<0 e k>0, então \dot{Q}_x>0 (calor flui no sentido positivo de x).
Vamos calcular a derivada espacial da temperatura:
\frac{dT}{dx}=b+2c x.
Calcule em x=0:
\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0}=b=-300\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}.
Logo a taxa de calor que entra em x=0 é
\dot{Q}_{\text{in}}=\dot{Q}_{x=0}=-kA\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0}=-kA(b).
Substituindo números:
kA=40\cdot10=400\\ \mathrm{W}/\mathrm{K},\qquad b=-300\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m},
\dot{Q}_{\text{in}}=-400\cdot(-300)=120{,}000\\ \mathrm{W}.
Calcule em x=1:
\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=1}=b+2c\cdot1=-300+2(-50)=-300-100=-400\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}.
A taxa de calor que sai em x=1 (fluxo na seção x=1) é
\dot{Q}_{\text{out}}=\dot{Q}_{x=1}=-kA\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=1}=-400\cdot(-400)=160{,}000\\ \mathrm{W}.
Observação didática rápida: sinais positivos indicam calor fluindo no sentido positivo de x. Aqui ambos os valores são positivos porque \dfrac{dT}{dx} é negativo nas duas faces; fisicamente há fluxo de calor da face x=0 para o interior e também do interior para a face x=1, e os módulos são os números calculados.

Passo 3

Cálculo da geração total e balanço de energia (taxa de variação da energia acumulada).
  • Volume da parede:
V=A\cdot L=10\cdot 1=10\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Potência gerada internamente no volume:
\dot{Q}_{\text{ger}}=\dot{q}\,V=1000\cdot 10=10{,}000\\ \mathrm{W}.
Equilíbrio de energia na forma integral simples (taxas): a taxa de acumulação de energia interna na parede é
\dot{E}_{\text{acum}}=\dot{Q}_{\text{in}}-\dot{Q}_{\text{out}}+\dot{Q}_{\text{ger}}.
Substituindo os valores:
\dot{E}_{\text{acum}}=120{,}000-160{,}000+10{,}000=-30{,}000\\ \mathrm{W}.
Interpretação: o sistema está perdendo energia a uma taxa de 30{,}000\\ \mathrm{W} (ou seja, a energia interna total da parede está diminuindo).

Passo 4

Equação de calor transitória unidimensional (aula e aplicação local).
  • A equação de calor com geração volumétrica, por unidade de volume, no caso unidimensional e sem convecção interna é
\rho c_{p}\,\frac{\partial T}{\partial t}=k\,\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}+\dot{q}.
Aqui:
  • \rho é a densidade (kg/m^3),
  • c_{p} é o calor específico (J/(kg K)),
  • \partial T/\partial t é a taxa de variação temporal local da temperatura (K/s),
  • k é a condutividade (W/(m K)),
  • \partial^{2}T/\partial x^{2} é a derivada segunda espacial (K/m^2),
  • \dot{q} é a geração volumétrica (W/m^3).
Para a nossa T(x)=a+bx+cx^{2} temos
\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}=2c.
Com c=-50\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}, obtemos
\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}=2(-50)=-100\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}.
Note que este valor é constante em x, portanto a contribuição de condução local à taxa temporal será a mesma em qualquer ponto x.
Substituindo na equação de calor:
\rho c_{p}\,\frac{\partial T}{\partial t}=k(2c)+\dot{q}.
Agora numérica:
k(2c)=40\cdot(-100)=-4000\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{3},
k(2c)+\dot{q}=-4000+1000=-3000\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}.
A capacidade térmica volumétrica é
\rho c_{p}=1600\cdot 4000=6{,}400{,}000\\ \mathrm{J}/(\mathrm{m}^{3}\cdot\mathrm{K}).
Logo a taxa temporal local é
\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{-3000}{6{,}400{,}000}=-0{,}00046875\\ \mathrm{K/s}.
Como \partial^{2}T/\partial x^{2} é constante, esse valor é o mesmo em qualquer x. Assim, especificamente:
\left.\frac{\partial T}{\partial t}\right|_{x=0}=\left.\frac{\partial T}{\partial t}\right|_{x=0{,}25}=\left.\frac{\partial T}{\partial t}\right|_{x=0{,}5}=-0{,}00046875\\ \mathrm{K/s}.

Passo 5

Cheque rápido de consistência com o balanço global de energia.
  • Massa total da parede:
m=\rho V=1600\cdot 10=16{,}000\\ \mathrm{kg}.
  • Capacidade térmica total:
m c_{p}=16{,}000\cdot 4000=64{,}000{,}000\\ \mathrm{J}/\mathrm{K}.
A partir da taxa de acumulação \dot{E}_{\text{acum}}=-30{,}000\\ \mathrm{W} segue
\frac{d\bar{T}}{dt}=\frac{\dot{E}_{\text{acum}}}{m c_{p}}=\frac{-30{,}000}{64{,}000{,}000}=-0{,}00046875\\ \mathrm{K/s},
o mesmo valor encontrado localmente (coerente porque \partial^{2}T/\partial x^{2} é constante e portanto a variação temporal é espacialmente uniforme).

Resposta

  1. \dot{Q}_{\text{in}}(x=0)=120{,}000\\ \mathrm{W},\quad \dot{Q}_{\text{out}}(x=1)=160{,}000\\ \mathrm{W}
  2. \dot{E}_{\text{acum}}=-30{,}000\\ \mathrm{W}
  3. \left.\dfrac{\partial T}{\partial t}\right|_{x=0}=\left.\dfrac{\partial T}{\partial t}\right|_{x=0{,}25}=\left.\dfrac{\partial T}{\partial t}\right|_{x=0{,}5}=-0{,}00046875\\ \mathrm{K/s}

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