A distribuição de temperaturas ao longo de uma parede com espessura de 1 m , em determinado instante de tempo, é dada por
T(x)=a+b x+c x^{2}
na qual T está em graus Celsius e x em metros, enquanto a=900^{\circ} \mathrm{C}, b=-300^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{m}, e c=-50^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}. Uma geração de calor uniforme, \dot{q}=1000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3}, está presente na parede, cuja área é de 10 \mathrm{~m}^{2}. O seu material apresenta as seguintes propriedades: \rho =1600 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, k=40 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}) e c_{p}=4 \mathrm{~kJ} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}).
Determine a taxa de transferência de calor que entra na parede (x=0) e que deixa a parede (x=1 \mathrm{~m}).
Determine a taxa de variação da energia acumulada na parede.
Determine a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo nas posições x =0 ; 0,25 e 0,5 \mathrm{~m}.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (pegados do enunciado):
A distribuição de temperatura é T(x)=a+b x+c x^{2}
com a=900\\ ^\circ\mathrm{C},\quad b=-300\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m},\quad c=-50\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}.
Propriedades do material: \rho=1600\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3},\quad k=40\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}),\quad c_{p}=4{,}0\\ \mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K})=4000\\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}).
O enunciado pede:
A taxa de transferência de calor que entra na parede em x=0 e que sai em x=1\\ \mathrm{m}.
A taxa de variação da energia acumulada na parede (ou seja, a taxa líquida de energia armazenada na parede, em W).
A taxa de variação da temperatura em relação ao tempo \partial T/\partial t nas posições x=0,\;0{,}25,\;0{,}5\\ \mathrm{m}.
Passo 2
Entendendo e aplicando a lei de Fourier (aula rápida e intuitiva).
A lei de condução unidimensional de Fourier diz que o fluxo de calor por condução, ao longo da direção x, por uma área A, é dado por
\dot{Q}_x = -k A \frac{dT}{dx},
onde:
\dot{Q}_x é a taxa de calor (W) atravessando a seção A na posição x no sentido positivo de x;
k é a condutividade térmica \left(\mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K})\right);
\dfrac{dT}{dx} é o gradiente de temperatura (K/m).
Sinal: o negativo indica que o calor vai da zona mais quente para a mais fria. Se \dfrac{dT}{dx}<0 e k>0, então \dot{Q}_x>0 (calor flui no sentido positivo de x).
Vamos calcular a derivada espacial da temperatura:
Observação didática rápida: sinais positivos indicam calor fluindo no sentido positivo de x. Aqui ambos os valores são positivos porque \dfrac{dT}{dx} é negativo nas duas faces; fisicamente há fluxo de calor da face x=0 para o interior e também do interior para a face x=1, e os módulos são os números calculados.
Passo 3
Cálculo da geração total e balanço de energia (taxa de variação da energia acumulada).
o mesmo valor encontrado localmente (coerente porque \partial^{2}T/\partial x^{2} é constante e portanto a variação temporal é espacialmente uniforme).