Um cilindro infinito de raio a tem distribuída no seu interior uma densidade de carga uniforme, \underset{\rightarrow}{\rho}. O cilindro roda em torno do seu eixo com velocidade angular constante \omega. Determine o campo \vec{B} em todo o espaço.

Passo 1

O enunciado dá um cilindro infinito de raio a com densidade volumétrica de carga uniforme \rho (ou seja, carga por unidade de volume igual a \rho) preenchendo o interior r<a. O cilindro gira em torno do seu eixo (eixo z) com velocidade angular constante \omega. A tarefa é determinar o campo magnético \vec{B} em todo o espaço (tanto para r<a quanto para r>a).\n
Informações relevantes fornecidas:
\text{- raio: } a,\qquad\text{- densidade de carga: } \rho,\qquad\text{- rotação: } \boldsymbol{\omega}=\omega\,\hat{z}.çã
Pergunta pedida:
\text{Determine } \vec{B}(\vec{r}) \text{ para todo } r.

Passo 2

Transformar o problema de cargas em movimento num problema de correntes: cargas que giram criam uma densidade de corrente volumétrica \vec{J}\). A regra é simples: cada elemento de carga com densidade \(\rho\) que se move com velocidade \(\vec{v}\) gera corrente \(\vec{J}=\rho\,\vec{v}\). Vou calcular \(\vec{v}\) dentro do cilindro.\n Posso escrever a velocidade de rotação como produto vetorial entre \(\boldsymbol{\omega}\) e o vetor posição \(\vec{r}\). No referencial cilíndrico, para um ponto a distância radial \(r\) do eixo, \[\vec{v}=\boldsymbol{\omega}\times\vec{r}=\omega\hat{z}\times(r\hat{r})=\omega r\,\hat{\varphi}.
Logo, a densidade de corrente volumétrica é
\vec{J}(r)=\begin{cases} \rho\,\omega r\,\hat{\varphi}, & r<a,\\[4pt] 0, & r>a. \end{cases}
Expliquei cada passo: \hat{r}\] é o vetor radial, \(\hat{\varphi} é o azimutal, e a velocidade é tangencial, proporcional a r.]

Passo 3

Usar simetria para restringir a forma de \vec{B}. O sistema é invariante por rotações em torno do eixo z e por translações ao longo de z. Além disso, não há dependência de \varphi nem de z. Essas simetrias implicam que o campo magnético só pode depender de r e que suas componentes possíveis são \hat{r},\hat{\varphi} ou \hat{z} com coeficientes que dependem apenas de r.\n
Agora raciocino: se existisse componente \hat{\varphi}, por causa da regularidade no eixo e da condição física de ausência de corrente axial líquida, ela teria forma B_\varphi=C/r e seria singular em r=0 a menos que C=0; além disso não há corrente total ao longo de z que justificasse tal comportamento. A componente radial B_r quebraria a simetria axial (pois divergência de \vec{B} e contornos mostrariam incompatibilidade). A componente que sobra, compatível com as simetrias e com as equações, é a componente axial B_z(r).\n
Portanto tomo a forma geral:
\vec{B}(r)=B_z(r)\,\hat{z}.

Passo 4

Usar a equação de Maxwell apropriada para magnetostática (ausência de campo elétrico variável no tempo): a forma diferencial de Ampère-Maxwell reduzida é
\boldsymbol{\nabla}\times\vec{B}=\mu_0\vec{J}.
Vou calcular o rotacional para o caso \vec{B}=B_z(r)\,\hat{z}. Em coordenadas cilíndricas, a componente azimutal do rotacional é
(\boldsymbol{\nabla}\times\vec{B})_\varphi=\frac{\partial B_r}{\partial z}-\frac{\partial B_z}{\partial r}.
Como B_r=0 e B_z não depende de z, isso reduz para
(\boldsymbol{\nabla}\times\vec{B})_\varphi=-\frac{dB_z}{dr}.
As outras componentes do rotacional são zero neste caso. Pela equação de Maxwell:
-\,\frac{dB_z}{dr}=\mu_0 J_\varphi(r).

Passo 5

Substituir J_\varphi(r) encontrado no Passo 2. Para r<a temos J_\varphi=\rho\omega r; para r>a temos J_\varphi=0. Então a equação diferencial fica separada em dois regimes:
Para r<a:
-\,\frac{dB_z}{dr}=\mu_0\rho\omega r.
Rearranjando:
\frac{dB_z}{dr}=-\mu_0\rho\omega r.
Integro em r:
B_z(r)=-\mu_0\rho\omega\int r\,dr=-\mu_0\rho\omega\frac{r^2}{2}+C_{\text{in}},
onde C_{\text{in}} é constante de integração válida para r<a.
Para r>a:
-\,\frac{dB_z}{dr}=0\quad\Rightarrow\quad \frac{dB_z}{dr}=0,
logo
B_z(r)=C_{\text{out}}\quad\text{para }r>a,
ou seja, fora do cilindro B_z é constante (independente de r).

Passo 6

Determinar as constantes usando condições físicas e continuidade. Primeiro, o campo deve ser finito no eixo r=0, e a expressão interna dá valor finito em r=0 independentemente de C_{\text{in}} (sem problema). Em seguida, a componente tangencial de \vec{B} é contínua na superfície se não houver uma corrente superficial singular independente (a corrente aqui é volumétrica e vai a zero fora, não há corrente de superfície extra), logo B_z deve ser contínuo em r=a. Assim
B_z(a^-)=B_z(a^+).
Da expressão interna:
B_z(a^-)= -\mu_0\rho\omega\frac{a^2}{2}+C_{\text{in}}.
Da expressão externa:
B_z(a^+)=C_{\text{out}}.
Portanto
C_{\text{out}}= -\mu_0\rho\omega\frac{a^2}{2}+C_{\text{in}}.
Finalmente uso a condição física adicional: o campo magnético deve desaparecer à distância grande do cilindro ( r\to\infty), isto é B_z(r)\to 0 quando r\to\infty. Isso implica C_{\text{out}}=0. (Outra maneira de ver: se \omega for zero o campo deve ser zero; escolher a constante externa nula garante isso.) Então
0=C_{\text{out}}= -\mu_0\rho\omega\frac{a^2}{2}+C_{\text{in}},
logo
C_{\text{in}}=\mu_0\rho\omega\frac{a^2}{2}.

Passo 7

Substituir as constantes nas expressões encontradas. Para r<a:
B_z(r)=-\mu_0\rho\omega\frac{r^2}{2}+ \mu_0\rho\omega\frac{a^2}{2}=\mu_0\rho\omega\frac{a^2-r^2}{2}.
Para r>a:
B_z(r)=0.
Portanto o campo magnético vetorial é
\vec{B}(r)=\begin{cases} \displaystyle \frac{\mu_0\rho\omega}{2}\,(a^2-r^2)\,\hat{z}, & r<a,\\[8pt] 0, & r>a. \end{cases}]

Resposta

\vec{B}(r)=\begin{cases} \displaystyle \frac{\mu_0\rho\omega}{2}\,(a^2-r^2)\,\hat{z}, & r<a,\\[8pt] 0, & r>a. \end{cases}]

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