Um cilindro infinito de raio
tem distribuída no seu interior uma densidade de carga uniforme,
. O cilindro roda em torno do seu eixo com velocidade angular constante
. Determine o campo
em todo o espaço.
Passo 1
O enunciado dá um cilindro infinito de raio
com densidade volumétrica de carga uniforme
(ou seja, carga por unidade de volume igual a
) preenchendo o interior
. O cilindro gira em torno do seu eixo (eixo
) com velocidade angular constante
. A tarefa é determinar o campo magnético
em todo o espaço (tanto para
quanto para
).\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Pergunta pedida:
Passo 2
Transformar o problema de cargas em movimento num problema de correntes: cargas que giram criam uma densidade de corrente volumétrica
Logo, a densidade de corrente volumétrica é
Expliquei cada passo:
é o azimutal, e a velocidade é tangencial, proporcional a
.]
Passo 3
Usar simetria para restringir a forma de
. O sistema é invariante por rotações em torno do eixo
e por translações ao longo de
. Além disso, não há dependência de
nem de
. Essas simetrias implicam que o campo magnético só pode depender de
e que suas componentes possíveis são
ou
com coeficientes que dependem apenas de
.\n
Agora raciocino: se existisse componente , por causa da regularidade no eixo e da condição física de ausência de corrente axial líquida, ela teria forma
e seria singular em
a menos que
; além disso não há corrente total ao longo de
que justificasse tal comportamento. A componente radial
quebraria a simetria axial (pois divergência de
e contornos mostrariam incompatibilidade). A componente que sobra, compatível com as simetrias e com as equações, é a componente axial
.\n
Portanto tomo a forma geral:
Agora raciocino: se existisse componente
Portanto tomo a forma geral:
Passo 4
Usar a equação de Maxwell apropriada para magnetostática (ausência de campo elétrico variável no tempo): a forma diferencial de Ampère-Maxwell reduzida é
Vou calcular o rotacional para o caso
. Em coordenadas cilíndricas, a componente azimutal do rotacional é
Como
e
não depende de
, isso reduz para
As outras componentes do rotacional são zero neste caso. Pela equação de Maxwell:
Passo 5
Substituir
encontrado no Passo 2. Para
temos
; para
temos
. Então a equação diferencial fica separada em dois regimes:
Para
:
Rearranjando:
Integro em
:
onde
é constante de integração válida para
.
Para
:
logo
ou seja, fora do cilindro
é constante (independente de
).
Passo 6
Determinar as constantes usando condições físicas e continuidade. Primeiro, o campo deve ser finito no eixo
, e a expressão interna dá valor finito em
independentemente de
(sem problema). Em seguida, a componente tangencial de
é contínua na superfície se não houver uma corrente superficial singular independente (a corrente aqui é volumétrica e vai a zero fora, não há corrente de superfície extra), logo
deve ser contínuo em
. Assim
Da expressão interna:
Da expressão externa:
Portanto
Finalmente uso a condição física adicional: o campo magnético deve desaparecer à distância grande do cilindro (
), isto é
quando
. Isso implica
. (Outra maneira de ver: se
for zero o campo deve ser zero; escolher a constante externa nula garante isso.) Então
logo
Passo 7
Substituir as constantes nas expressões encontradas. Para
:
Para
:
Portanto o campo magnético vetorial é