Considere dois condutores cilíndricos coaxiais muito longos, percorridos por correntes estacionárias. O cilindro interior, de raio
, transporta uma corrente
, uniformemente distribuída sobre a sua superfície e o cilindro exterior, de raio interno
e raio externo
, é percorrido por uma corrente, cuja densidade volumétrica é dada por
, onde
é uma constante e
designa a distância ao eixo do cilindro.
a) Determine a expressão da constante
, para que o campo
seja nulo na região
.
b) Determine o campo de indução magnética
para
.
c) Verifique que o campo
satisfaz as condições de fronteira adequadas nas superfícies
e
.
a) Determine a expressão da constante
b) Determine o campo de indução magnética
c) Verifique que o campo
Passo 1
O enunciado dá duas hastes cilíndricas coaxiais muito longas com correntes estacionárias e pede três coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
Dados:
- Raio do cilindro interior:
.\n - O cilindro interior transporta uma corrente total
, uniformemente distribuída sobre a sua superfície (ou seja, é uma corrente superficial em ).\n - O cilindro exterior é um casquilho com raio interno
e raio externo .\n - No volume do casquilho a densidade de corrente é
, onde é uma constante a determinar e é a distância ao eixo.\n
Perguntas:
a) Determinar a constante de modo que o campo magnético
seja nulo para
.\n
b) Determinar o campo magnético para
(ou seja, em todas as regiões internas até
).\n
c) Verificar que satisfaz as condições de fronteira adequadas nas superfícies
e
.\n
a) Determinar a constante
b) Determinar o campo magnético
c) Verificar que
Passo 2
Princípio físico e escolha do método (sem resolver ainda): por simetria cilíndrica e porque as hastes são muito longas, o campo magnético será azimutal e dependerá só de
:
. Usamos a Lei de Ampère na forma integral:
escolhendo um laço circular de raio
coaxial com os cilindros. Como
é tangencial e constante ao longo do círculo, a integral vira:
ou seja
Aqui
é a corrente total que atravessa a superfície delimitada pelo laço (corrente alíngada com
). A tarefa é calcular
nas diferentes regiões e usar a expressão acima. Também precisaremos integrar a densidade volumétrica
sobre a seção transversal quando pertinente.
Passo 3
Cálculo da corrente total no casquilho entre
e
(corrente do volume como função de
). A corrente que atravessa a seção transversal do casquilho é
Em coordenadas cilíndricas,
para a faixa entre
e
. Assim:
Então a corrente total do volume do casquilho é
.
Passo 4
Resposta da parte (a): condição para
em
. Para que
quando
precisamos que a corrente líquida total atravessando qualquer laço com
seja zero:
Substituindo
obtemos
Isolando
:
(O sinal negativo indica que, para anular o campo fora, a densidade volumétrica tem sentido oposto ao de
quando
é no sentido
.)
Passo 5
Agora determinamos
para
. Primeiro vamos listar as regiões radiais relevantes e calcular a corrente encerrada em cada uma:
- Região 1:
. - Região 2:
. - Região 3:
.
Para cada região aplicamos
.
Passo 6
Região 1:
.
A corrente superficial em
fica fora do laço quando
. Não há corrente volumétrica dentro de
. Logo
e portanto
Passo 7
Região 2:
.
Aqui o laço engloba toda a corrente superficial do cilindro interno (a corrente
), mas ainda não engloba a corrente volumétrica do casquilho (que começa em
). Então
Aplicando Ampère:
Direção:
com o sentido dado pela regra da mão direita em relação ao sinal de
.
Passo 8
Região 3:
.
Agora o laço engloba o cilindro interno inteiro mais a parte do casquilho entre
e
. A corrente volumétrica encerrada entre
e
é, como em Passo 3, a integral de
de
até
:
Assim
Substituímos agora o valor de
encontrado no Passo 4:
Logo
Aplicando Ampère:
Passo 9
Região exterior
(verificação rápida): com o valor de
obtido, a corrente total do casquilho é
, portanto
e por isso
conforme desejado na parte (a).
Passo 10
Verificação das condições de fronteira em
.
Regra geral: a componente tangencial de
pode sofrer salto ao atravessar uma superfície que sustente uma corrente superficial
. A condição de salto é
onde
é o vetor normal da superfície (apontando para fora).
- Em
há corrente superficial do cilindro interior. A densidade de corrente superficial é
Do lado interno
temos
. Do lado externo
temos
. Então
logo a condição de salto é satisfeita.
- Em
não existe corrente superficial (apenas continuidade do meio), então a componente tangencial de deve ser contínua. Calculamos
São iguais, logo a condição é satisfeita.
- Em
também não há corrente superficial (a corrente volumétrica termina sem superfície adicional), então a componente tangencial deve ser contínua. Calculamos
Também são iguais. Portanto todas as condições de fronteira nas superfícies pedidas são satisfeitas.
Resposta
a)
\n
c) As condições de fronteira são satisfeitas: em
o salto em
coincide com
com
; em
e
não há corrente superficial e a componente tangencial de
é contínua.]