Considere dois condutores cilíndricos coaxiais muito longos, percorridos por correntes estacionárias. O cilindro interior, de raio a, transporta uma corrente I, uniformemente distribuída sobre a sua superfície e o cilindro exterior, de raio interno b e raio externo c, é percorrido por uma corrente, cuja densidade volumétrica é dada por \vec{J}=\frac{A}{r} \hat{e}_{z}, onde A é uma constante e r designa a distância ao eixo do cilindro.
a) Determine a expressão da constante A, para que o campo \vec{B} seja nulo na região r>c.
b) Determine o campo de indução magnética \vec{B} para r<c.
c) Verifique que o campo \vec{B} satisfaz as condições de fronteira adequadas nas superfícies r=a, r=b e r=c.

Passo 1

O enunciado dá duas hastes cilíndricas coaxiais muito longas com correntes estacionárias e pede três coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
Dados:
  • Raio do cilindro interior: \;a.\n
  • O cilindro interior transporta uma corrente total \;I, uniformemente distribuída sobre a sua superfície (ou seja, é uma corrente superficial em r=a).\n
  • O cilindro exterior é um casquilho com raio interno \;b e raio externo \;c.\n
  • No volume do casquilho a densidade de corrente é \;\vec{J}=\dfrac{A}{r}\,\hat{e}_z, onde \;A é uma constante a determinar e \;r é a distância ao eixo.\n
Perguntas:
a) Determinar a constante \;A de modo que o campo magnético \;\vec{B} seja nulo para \;r>c.\n
b) Determinar o campo magnético \;\vec{B} para \;r<c (ou seja, em todas as regiões internas até c).\n
c) Verificar que \;\vec{B} satisfaz as condições de fronteira adequadas nas superfícies \;r=a,\;r=b e \;r=c.\n

Passo 2

Princípio físico e escolha do método (sem resolver ainda): por simetria cilíndrica e porque as hastes são muito longas, o campo magnético será azimutal e dependerá só de \;r: \;\vec{B}(r)=B_\varphi(r)\,\hat{e}_\varphi. Usamos a Lei de Ampère na forma integral:
\oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell}=\mu_0 I_{\text{enc}}
escolhendo um laço circular de raio \;r coaxial com os cilindros. Como \vec{B} é tangencial e constante ao longo do círculo, a integral vira:
B_\varphi(r)\,(2\pi r)=\mu_0 I_{\text{enc}}(r),
ou seja
B_\varphi(r)=\dfrac{\mu_0}{2\pi r}\;I_{\text{enc}}(r).
Aqui \;I_{\text{enc}}(r) é a corrente total que atravessa a superfície delimitada pelo laço (corrente alíngada com \hat{e}_z). A tarefa é calcular I_{\text{enc}}(r) nas diferentes regiões e usar a expressão acima. Também precisaremos integrar a densidade volumétrica \vec{J} sobre a seção transversal quando pertinente.

Passo 3

Cálculo da corrente total no casquilho entre \;r=b e \;r=c (corrente do volume como função de \;A). A corrente que atravessa a seção transversal do casquilho é
I_{\text{casquilho}}=\iint_{\text{seção}} J_z\,dS.çã
Em coordenadas cilíndricas, dS=2\pi r\,dr para a faixa entre \;r=b e \;r=c. Assim:
I_{\text{casquilho}}=\int_{b}^{c}\dfrac{A}{r}\,(2\pi r)\,dr =2\pi A\int_{b}^{c}dr =2\pi A\,(c-b).
Então a corrente total do volume do casquilho é \;2\pi A(c-b).

Passo 4

Resposta da parte (a): condição para \vec{B}=0 em \;r>c. Para que \vec{B}(r)=0 quando \;r>c precisamos que a corrente líquida total atravessando qualquer laço com r>c seja zero:
I_{\text{enc}}(r>c)=I + I_{\text{casquilho}} = 0.
Substituindo \;I_{\text{casquilho}}=2\pi A(c-b) obtemos
I + 2\pi A(c-b)=0.
Isolando A:
A=-\dfrac{I}{2\pi (c-b)}.
(O sinal negativo indica que, para anular o campo fora, a densidade volumétrica tem sentido oposto ao de I quando I é no sentido +\hat{e}_z.)

Passo 5

Agora determinamos \vec{B} para \;r<c. Primeiro vamos listar as regiões radiais relevantes e calcular a corrente encerrada em cada uma:
  • Região 1: \;r<a.
  • Região 2: \;a<r<b.
  • Região 3: \;b<r<c.
Para cada região aplicamos B_\varphi(r)=\dfrac{\mu_0}{2\pi r}I_{\text{enc}}(r).

Passo 6

Região 1: \;r<a.
A corrente superficial em r=a fica fora do laço quando r<a. Não há corrente volumétrica dentro de r<a. Logo
I_{\text{enc}}(r<a)=0,
e portanto
\vec{B}(r)=\vec{0}\quad\text{para }\;r<a.

Passo 7

Região 2: \;a<r<b.
Aqui o laço engloba toda a corrente superficial do cilindro interno (a corrente \;I), mas ainda não engloba a corrente volumétrica do casquilho (que começa em r=b). Então
I_{\text{enc}}(a<r<b)=I.
Aplicando Ampère:
\vec{B}(r)=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}\,\hat{e}_\varphi\quad\text{para }\;a<r<b.
Direção: \hat{e}_\varphi com o sentido dado pela regra da mão direita em relação ao sinal de I.

Passo 8

Região 3: \;b<r<c.
Agora o laço engloba o cilindro interno inteiro mais a parte do casquilho entre b e r. A corrente volumétrica encerrada entre b e r é, como em Passo 3, a integral de J de b até r:
I_{\text{casquilho}}(b\to r)=\int_{b}^{r}\dfrac{A}{r'}(2\pi r')\,dr' =2\pi A(r-b).
Assim
I_{\text{enc}}(b<r<c)=I+2\pi A(r-b).
Substituímos agora o valor de \;A encontrado no Passo 4:
A=-\dfrac{I}{2\pi(c-b)} \quad\Rightarrow\quad 2\pi A(r-b)=-\dfrac{I\,(r-b)}{(c-b)}.
Logo
I_{\text{enc}}(b<r<c)=I-\dfrac{I\,(r-b)}{(c-b)}=I\left(1-\dfrac{r-b}{c-b}\right)=I\,\dfrac{c-r}{c-b}.
Aplicando Ampère:
\vec{B}(r)=\dfrac{\mu_0}{2\pi r}\;I_{\text{enc}}(r) =\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}\,\dfrac{c-r}{c-b}\,\hat{e}_\varphi \quad\text{para }\;b<r<c.

Passo 9

Região exterior \;r>c (verificação rápida): com o valor de \;A obtido, a corrente total do casquilho é 2\pi A(c-b)=-I, portanto
I_{\text{enc}}(r>c)=I + 2\pi A(c-b)=0,
e por isso
\vec{B}(r)=\vec{0}\quad\text{para }\;r>c,
conforme desejado na parte (a).

Passo 10

Verificação das condições de fronteira em \;r=a,\;r=b,\;r=c.
Regra geral: a componente tangencial de \vec{B} pode sofrer salto ao atravessar uma superfície que sustente uma corrente superficial \vec{K}. A condição de salto é
\hat{n}\times\big(\vec{B}_{\text{fora}}-\vec{B}_{\text{dentro}}\big)=\mu_0\vec{K},
onde \hat{n} é o vetor normal da superfície (apontando para fora).
  • Em \;r=a há corrente superficial do cilindro interior. A densidade de corrente superficial é
\vec{K}=\dfrac{I}{2\pi a}\,\hat{e}_z.
Do lado interno r<a temos \vec{B}_{\text{dentro}}=\vec{0}. Do lado externo a<r<b temos \vec{B}_{\text{fora}}=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi a}\,\hat{e}_\varphi. Então
\hat{r}\times\big(\vec{B}_{\text{fora}}-\vec{0}\big) =\hat{r}\times\left(\dfrac{\mu_0 I}{2\pi a}\,\hat{e}_\varphi\right) =\dfrac{\mu_0 I}{2\pi a}\,\hat{e}_z =\mu_0\vec{K},
logo a condição de salto é satisfeita.
  • Em \;r=b não existe corrente superficial (apenas continuidade do meio), então a componente tangencial de \vec{B} deve ser contínua. Calculamos
\vec{B}(b^-)=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi b}\,\hat{e}_\varphi, \qquad \vec{B}(b^+)=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi b}\,\dfrac{c-b}{c-b}\,\hat{e}_\varphi =\dfrac{\mu_0 I}{2\pi b}\,\hat{e}_\varphi.
São iguais, logo a condição é satisfeita.
  • Em \;r=c também não há corrente superficial (a corrente volumétrica termina sem superfície adicional), então a componente tangencial deve ser contínua. Calculamos
\vec{B}(c^-)=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi c}\,\dfrac{c-c}{c-b}\,\hat{e}_\varphi=\vec{0}, \qquad \vec{B}(c^+)=\vec{0}.
Também são iguais. Portanto todas as condições de fronteira nas superfícies pedidas são satisfeitas.

Resposta

a) \displaystyle A=-\dfrac{I}{2\pi (c-b)}\).\n b) \(\displaystyle \vec{B}(r)=\begin{cases} \vec{0}, & r<a,\\[6pt] \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}\,\hat{e}_\varphi, & a<r<b,\\[8pt] \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}\,\dfrac{c-r}{c-b}\,\hat{e}_\varphi, & b<r<c. \end{cases}\n
c) As condições de fronteira são satisfeitas: em r=a o salto em \vec{B} coincide com \mu_0\vec{K} com \vec{K}=I/(2\pi a)\,\hat{e}_z; em r=b e r=c não há corrente superficial e a componente tangencial de \vec{B} é contínua.]

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