Considere uma distribuição de correntes de densidade uniforme \vec{J}=J_{0} \vec{k}, localizada na região entre dois cilindros coaxiais muito longos, tendo como eixo o eixo dos z z^{\prime}. Os cilindros têm raios a e b (com a<b ). Determine \vec{B} em todo o espaço, utilizando as equações locais a que este campo deve satisfazer.

Passo 1

Resumo do que o problema dá e pede, em linguagem clara (sem resolver ainda).
  • O enunciado dá uma densidade de corrente uniforme \vec{J}=J_{0}\,\hat{\mathbf{k}} (isto é, corrente na direção +z) distribuída apenas na região entre dois cilindros coaxiais infinitos de raios a e b, com a<b. Ou seja, a corrente existe somente para a<r<b (usarei coordenadas cilíndricas (r,\varphi,z)).
  • O enunciado pede o campo magnético \vec{B} em todo o espaço (para 0\le r<a, para a<r<b e para r>b), usando as equações locais que \vec{B} deve satisfazer.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A densidade de corrente é \vec{J}=J_{0}\,\hat{\mathbf{k}} (constante) somente em a<r<b; para r<a e r>b temos \vec{J}=\vec{0}.
  • Os cilindros são muito longos (ou infinitos): há invariância por translação ao longo de z.
  • A configuração é coaxial (simetria cilíndrica em torno do eixo z).

Passo 2

Observações de simetria — que forma esperamos para \vec{B} e por quê.
  • Como o sistema é invariante por translação em z (cilindros infinitos) e rotacionalmente simétrico em torno do eixo z (coaxial), nenhuma grandeza pode depender de z nem de \varphi: todas as quantidades dependem só de r.
  • A densidade de corrente aponta em +z. Pelo princípio da mão direita (regra de Biot–Savart / Ampère), o campo magnético gerado por correntes ao longo do eixo é no sentido azimutal. Logo esperamos \vec{B}(r)=B_{\varphi}(r)\,\hat{\boldsymbol{\varphi}},isto é, apenas componente azimutal que depende só de r.
  • Também esperamos \vec{B} ser finito no eixo ( r=0) e decair como 1/r para grandes r (comportamento típico de campo de corrente total concentrada).

Passo 3

Equações locais que o campo magnético deve satisfazer e interpretação delas.
  • As equações locais (magnetostática, em vácuo/material linear sem magnetização) são: \nabla\cdot\vec{B}=0e \nabla\times\vec{B}=\mu_{0}\,\vec{J},onde \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo, \vec{J} é a densidade de corrente e \vec{B} o campo magnético.
  • Interpretação:
    • \nabla\cdot\vec{B}=0 diz que não existem “cargas magnéticas” (linhas de \vec{B} são contínuas).
    • \nabla\times\vec{B}=\mu_{0}\vec{J} relaciona a circulação local de \vec{B} com a densidade de corrente local (é a forma local da lei de Ampère).

Passo 4

Escrever \nabla\times\vec{B} para o campo puramente azimutal \vec{B}=B_{\varphi}(r)\,\hat{\boldsymbol{\varphi}} (derivação e fórmula usada).
  • Em coordenadas cilíndricas, para um campo com apenas componente azimutal que depende só de r, a componente z do rotacional é (\nabla\times\vec{B})_{z}=\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\bigl(r\,B_{\varphi}(r)\bigr).As outras componentes do rotacional são zero porque não há dependência em \varphi nem z, e não há componentes radial ou axial.
  • Portanto a equação \nabla\times\vec{B}=\mu_{0}\vec{J} reduz-se, na componente z, a \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\bigl(r\,B_{\varphi}(r)\bigr)=\mu_{0}J_{z}(r),onde J_{z}(r) é a componente axial de \vec{J}. No nosso problema, J_{z}(r)=\begin{cases} 0, & 0\le r<a,\\[4pt] J_{0}, & a<r<b,\\[4pt] 0, & r>b. \end{cases}]

Passo 5

Montar e resolver a equação diferencial por regiões (integrando passo a passo).
  • Região I: 0\le r<a. Aqui J_{z}=0, então
    \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\bigl(r\,B_{\varphi}\bigr)=0.
    Multiplicando por r e integrando:
    \frac{d}{dr}\bigl(r\,B_{\varphi}\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad r\,B_{\varphi}=C_{1},
    onde C_{1} é constante. Assim
    B_{\varphi}(r)=\frac{C_{1}}{r}.
    Mas devemos exigir que B_{\varphi} seja finito em r=0. A única maneira de \dfrac{C_{1}}{r} ficar finita em r=0 é ter C_{1}=0. Então
    \boxed{B_{\varphi}(r)=0\quad\text{para }0\le r<a.}
  • Região II: a<r<b. Aqui J_{z}=J_{0}, então
    \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\bigl(r\,B_{\varphi}\bigr)=\mu_{0}J_{0}.
    Multiplicando por r:
    \frac{d}{dr}\bigl(r\,B_{\varphi}\bigr)=\mu_{0}J_{0}\,r.
    Integrando em r:
    r\,B_{\varphi}=\int \mu_{0}J_{0}\,r\,dr=\mu_{0}J_{0}\,\frac{r^{2}}{2}+C_{2},
    com constante C_{2}. Assim
    B_{\varphi}(r)=\frac{\mu_{0}J_{0}}{2}\,r+\frac{C_{2}}{r}.
  • Região III: r>b. Aqui J_{z}=0 novamente, então como na Região I
    \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\bigl(r\,B_{\varphi}\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad r\,B_{\varphi}=C_{3},
    ou
    B_{\varphi}(r)=\frac{C_{3}}{r},
    com constante C_{3}.

Passo 6

Determinar as constantes C_{2} e C_{3} usando condições físicas e de continuidade.
  • Condições de contorno físicas:
    1. Não há nenhuma corrente superficial (surface current) localizada exatamente em r=a ou r=b no enunciado — a corrente é volumétrica entre a e b. Portanto a componente tangencial de \vec{B} é contínua através dessas superfícies (condição de contorno de Maxwell sem superfície de corrente): B_{\varphi} contínuo em r=a e em r=b.
    2. Para r\to\infty, o campo deve coincidir com o campo produzido pela corrente total por unidade de comprimento; isso implica comportamento \propto 1/r e nos dá o valor da constante C_{3} pela lei de Ampère global. Vou usar Ampère para determinar C_{3}, o que é equivalente a pedir continuidade em r=b.
  • Calcular a corrente total por unidade de comprimento (corrente “por unidade de comprimento” de um cilindro infinito): a corrente total que atravessa uma seção transversal é
    I_{\text{tot}}= \int_{a}^{b} J_{0}\,(2\pi r)\,dr = 2\pi J_{0}\int_{a}^{b} r\,dr = 2\pi J_{0}\,\frac{b^{2}-a^{2}}{2}=\pi J_{0}\,(b^{2}-a^{2}).
  • Pela lei integral de Ampère, para um círculo de raio r>b centrado no eixo:
    \oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell}=2\pi r\,B_{\varphi}(r)=\mu_{0}I_{\text{enc}}=\mu_{0}I_{\text{tot}}.
    Portanto, para r>b:
    B_{\varphi}(r)=\frac{\mu_{0}I_{\text{tot}}}{2\pi r}=\frac{\mu_{0}\,\pi J_{0}(b^{2}-a^{2})}{2\pi r}=\frac{\mu_{0}J_{0}}{2}\,\frac{(b^{2}-a^{2})}{r}.
    Comparando com B_{\varphi}(r)=C_{3}/r obtemos
    C_{3}=\frac{\mu_{0}J_{0}}{2}\,(b^{2}-a^{2}).
  • Agora impondo continuidade em r=b: o valor de B_{\varphi} vindo da Região II (limite r\to b^{-}) deve igualar o valor de Região III (limite r\to b^{+}). Assim
    \frac{\mu_{0}J_{0}}{2}\,b+\frac{C_{2}}{b}=\frac{\mu_{0}J_{0}}{2}\,\frac{(b^{2}-a^{2})}{b}.
    Multiplicando por b:
    \frac{\mu_{0}J_{0}}{2}\,b^{2}+C_{2}=\frac{\mu_{0}J_{0}}{2}\,(b^{2}-a^{2}).
    Isolando C_{2}:
    C_{2}=\frac{\mu_{0}J_{0}}{2}\,(b^{2}-a^{2}-b^{2})=-\frac{\mu_{0}J_{0}}{2}\,a^{2}.
  • Verificação em r=a: com C_{2} assim determinado, o valor de B_{\varphi} na Região II em r=a é
    B_{\varphi}(a)=\frac{\mu_{0}J_{0}}{2}\,a+\frac{C_{2}}{a}=\frac{\mu_{0}J_{0}}{2}\,a-\frac{\mu_{0}J_{0}}{2}\,\frac{a^{2}}{a}=0,
    que coincide com B_{\varphi}=0 da Região I — boa: a continuidade em r=a também está satisfeita.

Passo 7

Escrever as expressões finais para B_{\varphi}(r) e dar \vec{B} nas três regiões, em forma bonita e interpretando cada termo.
  • Substituindo as constantes obtidas, temos:
    Região I ( 0\le r<a):
    \boxed{\vec{B}(r)=\vec{0}.}
    Região II ( a\le r\le b):
    B_{\varphi}(r)=\frac{\mu_{0}J_{0}}{2}\,r+\frac{1}{r}\Bigl(-\frac{\mu_{0}J_{0}}{2}\,a^{2}\Bigr) =\frac{\mu_{0}J_{0}}{2}\!\left(r-\frac{a^{2}}{r}\right).
    Em forma alternativa (colocando num único quociente):
    B_{\varphi}(r)=\frac{\mu_{0}J_{0}}{2}\,\frac{r^{2}-a^{2}}{r}.
    Assim
    \boxed{\vec{B}(r)=\frac{\mu_{0}J_{0}}{2}\!\left(r-\frac{a^{2}}{r}\right)\hat{\boldsymbol{\varphi}},\quad a\le r\le b.}
    Região III ( r>b):
    B_{\varphi}(r)=\frac{\mu_{0}J_{0}}{2}\,\frac{(b^{2}-a^{2})}{r},
    logo
    \boxed{\vec{B}(r)=\frac{\mu_{0}J_{0}}{2}\,\frac{(b^{2}-a^{2})}{r}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}},\quad r\ge b.}
  • Observações físicas rápidas e úteis para a prova:
    • Para r<a o campo é nulo porque as correntes que existem estão todas fora do raio r e a simetria faz cancelar a contribuição interna (pense como se a corrente total dentro de um círculo de raio r<a fosse zero).
    • Dentro da casca condutora ( a<r<b) o campo cresce aproximadamente como r para r pequeno comparado a a (dominância do termo \propto r), mas existe também o termo -a^{2}/r que garante conexão com o interior vazio.
    • Fora ( r>b) o campo decai como 1/r, como esperado de uma corrente total concentrada.

Passo 8

Cheque rápido de consistência (curtinho, para você ter confiança na resposta).
  • Divergência: \nabla\cdot\vec{B}=0 está satisfeita porque \vec{B} só tem componente \varphi e não depende de \varphi nem de z.
  • Rotacional: nas três regiões a fórmula \dfrac{1}{r}\dfrac{d}{dr}(rB_{\varphi}) \mu_{0}J_{0} apenas para a<r<b e zero fora, exatamente como manda \nabla\times\vec{B}=\mu_{0}\vec{J}.
  • Continuidade: B_{\varphi} é contínuo em r=a e r=b, como exigido (ausência de corrente superficial).

Resposta

\displaystyle \vec{B}(r)=\vec{0},\quad 0\le r<a.\n \displaystyle \vec{B}(r)=\frac{\mu_{0}J_{0}}{2}\!\left(r-\frac{a^{2}}{r}\right)\hat{\boldsymbol{\varphi}},\quad a\le r\le b.\n \displaystyle \vec{B}(r)=\frac{\mu_{0}J_{0}}{2}\,\frac{(b^{2}-a^{2})}{r}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}},\quad r\ge b.

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