Considere uma distribuição de correntes de densidade uniforme \vec{J}=J_{0} \vec{k}, localizada na região entre dois cilindros coaxiais muito longos, tendo como eixo o eixo dos z z^{\prime}. Os cilindros têm raios a e b (com a<b ). Determine \vec{B} em todo o espaço, utilizando as equações locais a que este campo deve satisfazer.
Passo 1
Resumo do que o problema dá e pede, em linguagem clara (sem resolver ainda).
O enunciado dá uma densidade de corrente uniforme \vec{J}=J_{0}\,\hat{\mathbf{k}} (isto é, corrente na direção +z) distribuída apenas na região entre dois cilindros coaxiais infinitos de raios a e b, com a<b. Ou seja, a corrente existe somente para a<r<b (usarei coordenadas cilíndricas (r,\varphi,z)).
O enunciado pede o campo magnético \vec{B} em todo o espaço (para 0\le r<a, para a<r<b e para r>b), usando as equações locais que \vec{B} deve satisfazer.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A densidade de corrente é \vec{J}=J_{0}\,\hat{\mathbf{k}} (constante) somente em a<r<b; para r<a e r>b temos \vec{J}=\vec{0}.
Os cilindros são muito longos (ou infinitos): há invariância por translação ao longo de z.
A configuração é coaxial (simetria cilíndrica em torno do eixo z).
Passo 2
Observações de simetria — que forma esperamos para \vec{B} e por quê.
Como o sistema é invariante por translação em z (cilindros infinitos) e rotacionalmente simétrico em torno do eixo z (coaxial), nenhuma grandeza pode depender de z nem de \varphi: todas as quantidades dependem só de r.
A densidade de corrente aponta em +z. Pelo princípio da mão direita (regra de Biot–Savart / Ampère), o campo magnético gerado por correntes ao longo do eixo é no sentido azimutal. Logo esperamos\vec{B}(r)=B_{\varphi}(r)\,\hat{\boldsymbol{\varphi}},isto é, apenas componente azimutal que depende só de r.
Também esperamos \vec{B} ser finito no eixo (r=0) e decair como 1/r para grandes r (comportamento típico de campo de corrente total concentrada).
Passo 3
Equações locais que o campo magnético deve satisfazer e interpretação delas.
As equações locais (magnetostática, em vácuo/material linear sem magnetização) são:\nabla\cdot\vec{B}=0e\nabla\times\vec{B}=\mu_{0}\,\vec{J},onde \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo, \vec{J} é a densidade de corrente e \vec{B} o campo magnético.
Interpretação:
\nabla\cdot\vec{B}=0 diz que não existem “cargas magnéticas” (linhas de \vec{B} são contínuas).
\nabla\times\vec{B}=\mu_{0}\vec{J} relaciona a circulação local de \vec{B} com a densidade de corrente local (é a forma local da lei de Ampère).
Passo 4
Escrever \nabla\times\vec{B} para o campo puramente azimutal \vec{B}=B_{\varphi}(r)\,\hat{\boldsymbol{\varphi}} (derivação e fórmula usada).
Em coordenadas cilíndricas, para um campo com apenas componente azimutal que depende só de r, a componente z do rotacional é(\nabla\times\vec{B})_{z}=\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\bigl(r\,B_{\varphi}(r)\bigr).As outras componentes do rotacional são zero porque não há dependência em \varphi nem z, e não há componentes radial ou axial.
Portanto a equação \nabla\times\vec{B}=\mu_{0}\vec{J} reduz-se, na componente z, a\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\bigl(r\,B_{\varphi}(r)\bigr)=\mu_{0}J_{z}(r),onde J_{z}(r) é a componente axial de \vec{J}. No nosso problema,J_{z}(r)=\begin{cases} 0, & 0\le r<a,\\[4pt] J_{0}, & a<r<b,\\[4pt] 0, & r>b. \end{cases}]
Passo 5
Montar e resolver a equação diferencial por regiões (integrando passo a passo).
Determinar as constantes C_{2} e C_{3} usando condições físicas e de continuidade.
Condições de contorno físicas:
Não há nenhuma corrente superficial (surface current) localizada exatamente em r=a ou r=b no enunciado — a corrente é volumétrica entre a e b. Portanto a componente tangencial de \vec{B} é contínua através dessas superfícies (condição de contorno de Maxwell sem superfície de corrente): B_{\varphi} contínuo em r=a e em r=b.
Para r\to\infty, o campo deve coincidir com o campo produzido pela corrente total por unidade de comprimento; isso implica comportamento \propto 1/r e nos dá o valor da constante C_{3} pela lei de Ampère global. Vou usar Ampère para determinar C_{3}, o que é equivalente a pedir continuidade em r=b.
Calcular a corrente total por unidade de comprimento (corrente “por unidade de comprimento” de um cilindro infinito): a corrente total que atravessa uma seção transversal é
Agora impondo continuidade em r=b: o valor de B_{\varphi} vindo da Região II (limite r\to b^{-}) deve igualar o valor de Região III (limite r\to b^{+}). Assim
Para r<a o campo é nulo porque as correntes que existem estão todas fora do raio r e a simetria faz cancelar a contribuição interna (pense como se a corrente total dentro de um círculo de raio r<a fosse zero).
Dentro da casca condutora (a<r<b) o campo cresce aproximadamente como r para r pequeno comparado a a (dominância do termo \propto r), mas existe também o termo -a^{2}/r que garante conexão com o interior vazio.
Fora (r>b) o campo decai como 1/r, como esperado de uma corrente total concentrada.
Passo 8
Cheque rápido de consistência (curtinho, para você ter confiança na resposta).
Divergência: \nabla\cdot\vec{B}=0 está satisfeita porque \vec{B} só tem componente \varphi e não depende de \varphi nem de z.
Rotacional: nas três regiões a fórmula \dfrac{1}{r}\dfrac{d}{dr}(rB_{\varphi}) dá \mu_{0}J_{0} apenas para a<r<b e zero fora, exatamente como manda \nabla\times\vec{B}=\mu_{0}\vec{J}.
Continuidade: B_{\varphi} é contínuo em r=a e r=b, como exigido (ausência de corrente superficial).