1. Um cilindro está inscrito num prisma quadrangular regular, cuja aresta da base mede 8 cm e a altura mede 12 cm . Calcular a área lateral, a área total e o volume do cilindro.

Passo 1

O enunciado dá um prisma quadrangular regular com aresta da base igual a 8\\ \text{cm} e altura igual a 12\\ \text{cm}. Um cilindro está inscrito nesse prisma. As perguntas são: calcular a área lateral do cilindro, a área total do cilindro e o volume do cilindro.
Informações relevantes fornecidas:
  • aresta da base do prisma: 8\\ \text{cm};
  • altura do prisma: 12\\ \text{cm};
  • o cilindro está inscrito no prisma quadrangular regular (isto é, a base circular do cilindro cabe exatamente dentro da base quadrada do prisma e o eixo do cilindro é perpendicular às bases do prisma).

Passo 2

Entender o que significa “cilindro inscrito num prisma quadrangular regular”. Quando uma circunferência está inscrita num quadrado, ela toca os quatro lados do quadrado e seu diâmetro é igual à aresta do quadrado. Assim, como o cilindro está inscrito na base quadrada do prisma, a base circular do cilindro é a maior circunferência que cabe no quadrado. Portanto:
  • o diâmetro do círculo da base do cilindro é igual à aresta do quadrado, ou seja 8\\ \text{cm}.

Passo 3

Determinar o raio r e a altura h do cilindro a partir dos dados:
  • diâmetro =8\\ \text{cm} implica que o raio é metade do diâmetro. Logo,
r=\frac{8}{2}=4\\ \text{cm}.
  • a altura do cilindro coincide com a altura do prisma (o cilindro “enche” o prisma na direção vertical), então
h=12\\ \text{cm}.

Passo 4

Relembrar as fórmulas fundamentais para um cilindro circular reto (explicando o porquê):
  • Área lateral: a área lateral de um cilindro é igual à altura multiplicada pelo comprimento da base circular (circunferência). A circunferência de um círculo de raio r é 2\pi r. Portanto a área lateral é
A_{\text{lat}} = \text{(circunferência)} \times \text{(altura)} = 2\pi r h.ê
Aqui r é o raio da base e h é a altura do cilindro.
  • Área da base: cada base circular tem área dada por \pi r^2.
  • Área total: é a soma da área lateral com as áreas das duas bases, então
A_{\text{tot}} = A_{\text{lat}} + 2\cdot (\text{área da base}) = 2\pi r h + 2\pi r^2.á
  • Volume: o volume de um cilindro é a área da base vezes a altura, ou seja
V = (\text{área da base})\times h = \pi r^2 h.á

Passo 5

Aplicar as fórmulas com os valores r=4\\ \text{cm} e h=12\\ \text{cm}. Primeiro a área lateral:
A_{\text{lat}} = 2\pi r h = 2\pi \cdot 4 \cdot 12.
Agora calcular passo a passo os fatores numéricos fora do \pi:
2\cdot 4 = 8,\qquad 8\cdot 12 = 96.
Logo
A_{\text{lat}} = 96\pi\\ \text{cm}^2.

Passo 6

Calcular a área total. Podemos calcular a área de uma base e somar duas delas ao resultado da área lateral:
  • área de uma base:
A_{\text{base}} = \pi r^2 = \pi \cdot 4^2 = \pi \cdot 16 = 16\pi\\ \text{cm}^2.
  • duas bases:
2\cdot A_{\text{base}} = 2\cdot 16\pi = 32\pi\\ \text{cm}^2.
Somando à área lateral 96\pi:
A_{\text{tot}} = 96\pi + 32\pi = 128\pi\\ \text{cm}^2.

Passo 7

Calcular o volume do cilindro usando V=\pi r^2 h:
V = \pi \cdot 4^2 \cdot 12 = \pi \cdot 16 \cdot 12.
Agora os passos aritméticos:
16\cdot 12 = 192.
Logo
V = 192\pi\\ \text{cm}^3.

Passo 8

Opcionalmente, se quiser aproximações numéricas usando \pi\approx 3{,}1416, podemos obter:
A_{\text{lat}}\approx 96\cdot 3{,}1416 \approx 301{,}59\\ \text{cm}^2,
A_{\text{tot}}\approx 128\cdot 3{,}1416 \approx 402{,}12\\ \text{cm}^2,
V\approx 192\cdot 3{,}1416 \approx 603{,}19\\ \text{cm}^3.
Mas as respostas exatas em termos de \pi são preferíveis em provas, salvo pedido de aproximação.

Resposta

A_{\text{lat}}=96\pi\\ \text{cm}^2
A_{\text{tot}}=128\pi\\ \text{cm}^2
V=192\pi\\ \text{cm}^3

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