- Um cilindro está inscrito num prisma quadrangular regular, cuja aresta da base mede 8 cm e a altura mede 12 cm . Calcular a área lateral, a área total e o volume do cilindro.
Passo 1
O enunciado dá um prisma quadrangular regular com aresta da base igual a
e altura igual a
. Um cilindro está inscrito nesse prisma. As perguntas são: calcular a área lateral do cilindro, a área total do cilindro e o volume do cilindro.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- aresta da base do prisma:
; - altura do prisma:
; - o cilindro está inscrito no prisma quadrangular regular (isto é, a base circular do cilindro cabe exatamente dentro da base quadrada do prisma e o eixo do cilindro é perpendicular às bases do prisma).
Passo 2
Entender o que significa “cilindro inscrito num prisma quadrangular regular”. Quando uma circunferência está inscrita num quadrado, ela toca os quatro lados do quadrado e seu diâmetro é igual à aresta do quadrado. Assim, como o cilindro está inscrito na base quadrada do prisma, a base circular do cilindro é a maior circunferência que cabe no quadrado. Portanto:
- o diâmetro do círculo da base do cilindro é igual à aresta do quadrado, ou seja
.
Passo 3
Determinar o raio
e a altura
do cilindro a partir dos dados:
- diâmetro
implica que o raio é metade do diâmetro. Logo,
- a altura do cilindro coincide com a altura do prisma (o cilindro “enche” o prisma na direção vertical), então
Passo 4
Relembrar as fórmulas fundamentais para um cilindro circular reto (explicando o porquê):
- Área lateral: a área lateral de um cilindro é igual à altura multiplicada pelo comprimento da base circular (circunferência). A circunferência de um círculo de raio
é . Portanto a área lateral é
Aqui
é o raio da base e
é a altura do cilindro.
- Área da base: cada base circular tem área dada por
. - Área total: é a soma da área lateral com as áreas das duas bases, então
- Volume: o volume de um cilindro é a área da base vezes a altura, ou seja
Passo 5
Aplicar as fórmulas com os valores
e
. Primeiro a área lateral:
Agora calcular passo a passo os fatores numéricos fora do
:
Logo
Passo 6
Calcular a área total. Podemos calcular a área de uma base e somar duas delas ao resultado da área lateral:
- área de uma base:
- duas bases:
Somando à área lateral
:
Passo 7
Calcular o volume do cilindro usando
:
Agora os passos aritméticos:
Logo
Passo 8
Opcionalmente, se quiser aproximações numéricas usando
, podemos obter:
Mas as respostas exatas em termos de
são preferíveis em provas, salvo pedido de aproximação.