- Considere o retângulo ABCD . Uma rotação completa em torno de AB gera um cilindro de volume
e em torno de BC gera um cilindro de volume
. Calcule os lados do retângulo.
Passo 1
O enunciado dá um retângulo
e informa duas rotações completas:
- A rotação em torno de
gera um cilindro de volume .
- A rotação em torno de
gera um cilindro de volume .
O que o problema pede: calcular os comprimentos dos lados do retângulo, isto é, os valores dee (em centímetros).
Informações relevantes listadas:
- Volume ao rotacionar em torno de
: .
- Volume ao rotacionar em torno de
: .
- Devemos fornecer os comprimentos de
e (positivos e em ).
Passo 2
Vamos definir variáveis claras para não nos enrolar:
- Seja
(comprimento em cm).
- Seja
(comprimento em cm).
Agora, precisamos relacionar cada rotação com o volume de um cilindro. A fórmula do volume de um cilindro é
onde
é o raio da base do cilindro e
é a altura do cilindro. Explico cada termo:
-
é a distância máxima, perpendicular ao eixo de rotação, que um ponto do retângulo tem até o eixo; ao rotacionar esse ponto, ele descreve um círculo de raio .
-
é a dimensão paralela ao eixo de rotação (a “altura” do retângulo na direção do eixo), que permanece como a altura do cilindro gerado.
Passo 3
Aplicando isso à rotação em torno de
:
- O eixo é
, então a altura do cilindro será .
- A distância máxima de pontos do retângulo até
é exatamente (a largura ), então o raio será .
Portanto o volume gerado é
Dividindo ambos os lados por
obtemos a equação simples
Passo 4
Agora a rotação em torno de
:
- O eixo é
, logo a altura do cilindro será .
- A distância máxima ao eixo
é , então o raio é .
Assim o volume é
Dividindo por
ficamos com
Passo 5
Temos agora um sistema de duas equações (em
Uma maneira prática de resolver é dividir a segunda equação pela primeira para eliminar um termo e achar a relação (a/b]. Fazendo isso:
No lado esquerdo simplifica-se:
No lado direito reduzimos a fração:
Logo:
]
No lado esquerdo simplifica-se:
No lado direito reduzimos a fração:
Logo:
Passo 6
Substituímos
em uma das equações, por exemplo em
:
Isso dá
Multiplicando ambos os lados por
:
Tomando a raiz cúbica (e lembrando que comprimento é positivo):
Passo 7
Agora que
, voltamos à relação
:
Portanto
e
, ambos em centímetros.
Passo 8
Verificação rápida (sempre bom checar na prova):
- Rotação em torno de
: — confere.
- Rotação em torno de
: — confere.
Boa! Encontramos os lados do retângulo e testamos que satisfazem ambas as condições.