1. Considere o retângulo ABCD . Uma rotação completa em torno de AB gera um cilindro de volume 96 \pi \mathrm{~cm}^{3} e em torno de BC gera um cilindro de volume 144 \pi \mathrm{~cm}^{3}. Calcule os lados do retângulo.

Passo 1

O enunciado dá um retângulo ABCD e informa duas rotações completas:
  • A rotação em torno de AB gera um cilindro de volume \,96\pi\\ \text{cm}^3.
  • A rotação em torno de BC gera um cilindro de volume \,144\pi\\ \text{cm}^3.

    O que o problema pede: calcular os comprimentos dos lados do retângulo, isto é, os valores de AB e BC (em centímetros).

    Informações relevantes listadas:
  • Volume ao rotacionar em torno de AB: \,96\pi.
  • Volume ao rotacionar em torno de BC: \,144\pi.
  • Devemos fornecer os comprimentos de AB e BC (positivos e em \text{cm}).

Passo 2

Vamos definir variáveis claras para não nos enrolar:
  • Seja a = AB (comprimento em cm).
  • Seja b = BC (comprimento em cm).

    Agora, precisamos relacionar cada rotação com o volume de um cilindro. A fórmula do volume de um cilindro é
V = \pi r^{2} h,
onde r é o raio da base do cilindro e h é a altura do cilindro. Explico cada termo:
  • r é a distância máxima, perpendicular ao eixo de rotação, que um ponto do retângulo tem até o eixo; ao rotacionar esse ponto, ele descreve um círculo de raio r.
  • h é a dimensão paralela ao eixo de rotação (a “altura” do retângulo na direção do eixo), que permanece como a altura do cilindro gerado.

Passo 3

Aplicando isso à rotação em torno de AB:
  • O eixo é AB, então a altura do cilindro será h = a.
  • A distância máxima de pontos do retângulo até AB é exatamente b (a largura BC), então o raio será r = b.

    Portanto o volume gerado é
\pi b^{2} a = 96\pi.
Dividindo ambos os lados por \pi obtemos a equação simples
a b^{2} = 96.

Passo 4

Agora a rotação em torno de BC:
  • O eixo é BC, logo a altura do cilindro será h = b.
  • A distância máxima ao eixo BC é a, então o raio é r = a.

    Assim o volume é
\pi a^{2} b = 144\pi.
Dividindo por \pi ficamos com
a^{2} b = 144.

Passo 5

Temos agora um sistema de duas equações (em a\) e \(b\)): \[\begin{cases} a b^{2} = 96,\\[4pt] a^{2} b = 144. \end{cases}
Uma maneira prática de resolver é dividir a segunda equação pela primeira para eliminar um termo e achar a relação (a/b]. Fazendo isso:
\frac{a^{2} b}{a b^{2}} = \frac{144}{96}.
No lado esquerdo simplifica-se:
\frac{a^{2} b}{a b^{2}} = \frac{a}{b}.
No lado direito reduzimos a fração:
\frac{144}{96} = \frac{3}{2}.
Logo:
\frac{a}{b} = \frac{3}{2}\quad\Rightarrow\quad a = \frac{3}{2}\,b.]

Passo 6

Substituímos a = \dfrac{3}{2}b em uma das equações, por exemplo em a b^{2} = 96:
\left(\frac{3}{2}b\right)b^{2} = 96.
Isso dá
\frac{3}{2} b^{3} = 96.
Multiplicando ambos os lados por \dfrac{2}{3}:
b^{3} = 96\cdot\frac{2}{3} = 64.
Tomando a raiz cúbica (e lembrando que comprimento é positivo):
b = \sqrt[3]{64} = 4.

Passo 7

Agora que b = 4, voltamos à relação a = \dfrac{3}{2}b:
a = \frac{3}{2}\cdot 4 = 6.
Portanto a=6 e b=4, ambos em centímetros.

Passo 8

Verificação rápida (sempre bom checar na prova):
  • Rotação em torno de AB: \pi b^{2} a = \pi\cdot 4^{2}\cdot 6 = \pi\cdot 16\cdot 6 = 96\pi — confere.
  • Rotação em torno de BC: \pi a^{2} b = \pi\cdot 6^{2}\cdot 4 = \pi\cdot 36\cdot 4 = 144\pi — confere.

    Boa! Encontramos os lados do retângulo e testamos que satisfazem ambas as condições.

Resposta

\,AB = 6\\ \text{cm}\n \,BC = 4\\ \text{cm}

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