Um cilindro isolante, infinitamente comprido, de raio R, tem densidade volumar de carga que varia com o raio conforme,
rho=rho0(a-rb)
onde rho0, a e b são constantes positivas, e r é a distância ao eixo do cilindro. Utilize a lei de Gauss para determinar o módulo do campo elétrico nas distâncias radiais r <= R e
r>R. (Sugestão: Utilize o sistema de coordenadas cilíndricas).

Passo 1

Beleza! A questão é assim: temos um cilindro infinitamente comprido, raio rho(r)=rho0l(a - tfracrbr) , com densidade volumétrica de carga
onde , e são constantes positivas. A parada é usar a lei de Gauss pra achar o campo tanto pra pontos internos ( ) quanto externos ( ). O conteúdo é eletrostática (lei de Gauss), e a gente vai precisar de coordenadas cilíndricas e de integrar essa densidade pra achar a carga envolvida.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma superfície de Gauss cilíndrica, coaxial ao nosso cilindro, de raio genérico PhiE = oint Ecdot dA = Qrm intvarepsilon0 e comprimento . Por simetria, o campo elétrico aponta radialmente pra fora e só depende de . A lei de Gauss diz:
Como só a lateral contribui ao fluxo, .

Passo 3

Precisamos agora do Qrm int(r)=integral0^rrho(r'),dV =integral0^rrho0l(a-tfracr'br),(2pi r' L),dr' , a carga contida dentro desse raio . A densidade é função de , então:

Passo 4

Vamos calcular essa integral passo a passo:
Qrm int(r) =2pirho0Lintegral0^rl(a,r' - tfracr'^2br),dr' =2pirho0Ll[tfraca,r'^22 - tfracr'^33,br]0^r =2pirho0Ll(tfraca,r^22 - tfracr^33br)

Passo 5

Agora aplicamos a lei de Gauss:
E(r),(2pi rL) =Qrm int(r)varepsilon0 ;Longrightarrow; E(r) =12pi rLvarepsilon0;2pirho0Ll(tfraca,r^22 - tfracr^33br)
Simplificando dá, para boxedE(r)=rho0varepsilon0l(tfraca,r2-tfracr^23br) :

Passo 6

Para Qrm tot=2pirho0Ll(tfraca,R^22-tfracR^33br) , a carga total interna é fixa e obtida mandando E(r),2pi rL =Qrm totvarepsilon0 ;Longrightarrow; E(r) =Qrm tot2pi rLvarepsilon0 =rho0varepsilon0;l(tfraca,R^22-tfracR^33br)r :
Aí, pela mesma lei de Gauss (mas agora raio maior),

Resposta

Para um ponto a distância E(r)=rho0varepsilon0l(a,r2-r^23br) do eixo do cilindro:
  1. Se E(r)=rho0varepsilon0;l(tfraca,R^22-tfracR^33br)r :
  1. Se :

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