Um cilindro isolante, infinitamente comprido, de raio
, tem densidade volumar de carga que varia com o raio conforme,
onde
são constantes positivas, e r é a distância ao eixo do cilindro. Utilize a lei de Gauss para determinar o módulo do campo elétrico nas distâncias radiais
e
. (Sugestão: Utilize o sistema de coordenadas cilíndricas).
Passo 1
Beleza! A questão é assim: temos um cilindro infinitamente comprido, raio
, com densidade volumétrica de carga
onde
,
e
são constantes positivas. A parada é usar a lei de Gauss pra achar o campo
tanto pra pontos internos (
) quanto externos (
). O conteúdo é eletrostática (lei de Gauss), e a gente vai precisar de coordenadas cilíndricas e de integrar essa densidade pra achar a carga envolvida.
Passo 2
Primeiro, escolhemos uma superfície de Gauss cilíndrica, coaxial ao nosso cilindro, de raio genérico
e comprimento
. Por simetria, o campo elétrico
aponta radialmente pra fora e só depende de
. A lei de Gauss diz:
Como só a lateral contribui ao fluxo,
.
Passo 3
Precisamos agora do
, a carga contida dentro desse raio
. A densidade é função de
, então:
Passo 4
Vamos calcular essa integral passo a passo:
Passo 5
Agora aplicamos a lei de Gauss:
Simplificando dá, para
:
Passo 6
Para
, a carga total interna é fixa e obtida mandando
:
Aí, pela mesma lei de Gauss (mas agora raio
maior),
Resposta
Para um ponto a distância
do eixo do cilindro:
- Se
:
- Se
: