Um circuito é descrito, para t>0, pela equação
d^2 vd t^2+5 d vd t+6 v=vs
Determine a resposta forçada vf(t) para:
vs(t)=8 V.

Passo 1

Beleza, aqui a questão nos dá uma equação diferencial de segunda ordem que descreve um circuito elétrico, valendo para d^2vdt^2 + 5,dvdt + 6,v = vs(t), :
com (uma fonte constante).
Conteúdo: equações diferenciais lineares de coeficientes constantes e método dos coeficientes a determinar para achar a resposta forçada (também chamada de solução particular).
O que vamos precisar:
  • Entender a forma geral de uma EDO linear de 2º ordem.
  • Saber que a resposta completa é soma da homogênea e da particular, mas aqui só queremos a parte forçada (solução particular).
  • Aplicar o método de “chutar” uma solução de formato parecido com a fonte em questão.

Passo 2

Teoria rápida:
Para uma EDO linear com coeficientes constantes
a,d^2ydt^2 + b,dydt + c,y = f(t),
a solução geral é
y(t) = yh(t) + yp(t),
onde
  • é a solução da equação homogênea ( ),
  • é uma solução particular que “se ajusta” ao termo forçante .
Quando é uma constante (aqui V), a gente tenta uma constante . Isso porque derivadas de constantes são zero, simplificando o cálculo.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso:
d^2vdt^2 + 5,dvdt + 6,v = 8
Chutamos
vp(t) = K (constante)
Como 0 + 5cdot 0 + 6,K = 8 e , a equação vira

Passo 4

Daí é só isolar 6,K = 8 Longrightarrow K = 86 = 43 :

Resposta

A resposta forçada (solução particular) do circuito é
boxedvf(t) = 43 V

Exercícios relacionados