Um cilindro de massa
e raio
é colocado (inicialmente em repouso) no topo de uma rampa com um ângulo de inclinação
e altura
. Sabendo que o cilindro (
, em relação ao centro de massa) rola sem deslizar até o final da rampa,
Determine a velocidade angular
em função do tempo.
Determine a velocidade angular
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é um cilindro de massa
e raio
(com momento de inércia
) largado do repouso no topo de uma rampa inclinada de ângulo
. A pergunta é: como varia a velocidade angular
em função do tempo
?
Conteúdo envolvido: dinâmica de corpo rígido (translação + rotação), força de atrito estático e a condição de rolamento sem deslizamento. Vamos precisar de:
Conteúdo envolvido: dinâmica de corpo rígido (translação + rotação), força de atrito estático e a condição de rolamento sem deslizamento. Vamos precisar de:
- Equação de Newton para a parte de translação ao longo da rampa.
- Equação de Newton para a parte de rotação em torno do CM.
- Ligação entre aceleração linear
e aceleração angular : .
A partir daí a gente resolve o sistema, achae integra pra .
Passo 2
Primeiro, força paralela à rampa:
- Componente do peso descendo:
. - Atrito estático
apontando pra cima (impede deslizamento).
Equação de translação (Newton 2ª lei na direção da rampa):
Passo 3
Agora a rotação em torno do centro de massa:
- Só o atrito gera torque,
. - Pela 2ª lei da rotação:
E, como tá rolando sem deslizar, vale
Passo 4
Vamos eliminar
e
. Da rotação vem
Substituindo em
:
Como
, temos
. Então
Logo a aceleração angular constante é
Passo 5
Como
é constante, basta integrar no tempo partindo de
: