Um cilindro de massa M e raio R cm é colocado (inicialmente em repouso) no topo de uma rampa com um ângulo de inclinação theta e altura h. Sabendo que o cilindro ( I=M R^2 / 2, em relação ao centro de massa) rola sem deslizar até o final da rampa,
Determine a velocidade angular omega em função do tempo.

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é um cilindro de massa e raio (com momento de inércia ) largado do repouso no topo de uma rampa inclinada de ângulo . A pergunta é: como varia a velocidade angular em função do tempo ?
Conteúdo envolvido: dinâmica de corpo rígido (translação + rotação), força de atrito estático e a condição de rolamento sem deslizamento. Vamos precisar de:
  1. Equação de Newton para a parte de translação ao longo da rampa.
  2. Equação de Newton para a parte de rotação em torno do CM.
  3. Ligação entre aceleração linear e aceleração angular : .
    A partir daí a gente resolve o sistema, acha e integra pra .

Passo 2

Primeiro, força paralela à rampa:
  • Componente do peso descendo: M g sintheta ;-; f ;=; M,a .
  • Atrito estático apontando pra cima (impede deslizamento).
Equação de translação (Newton 2ª lei na direção da rampa):

Passo 3

Agora a rotação em torno do centro de massa:
  • Só o atrito gera torque, tau = I,alpha Longrightarrow f,R = I,alpha .
  • Pela 2ª lei da rotação:
a = alpha,R
E, como tá rolando sem deslizar, vale

Passo 4

Vamos eliminar f = I,alphaR = IR,aR = IR^2,a e M gsintheta ;-;IR^2,a ;=;M,a Longrightarrow al(M + tfracIR^2r) = M gsintheta . Da rotação vem
a = M gsinthetaM + M/2 = gsintheta1 + tfrac12 = 23,gsintheta
Substituindo em alpha = aR = 23,gsinthetaR :
Como , temos . Então
Logo a aceleração angular constante é

Passo 5

Como omega(t) = omega(0) + alpha,t = 0 + 23,gsinthetaR;t é constante, basta integrar no tempo partindo de :

Resposta

boxedomega(t) = 2,g,sintheta3,R;t

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