7.3 (5) - Um cilindro metálico de 10 mm de diâmetro e 94 mm de comprimento é aquecido por um aquecedor elétrico e é submetido a um escoamento cruzado de ar, em que as velocidades e temperatura do ar na corrente são mantidas em V=8 \mathrm{m} / \mathrm{s} e 25^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente, a dissipação de potência no aquecedor foi de P=40 W, enquanto a temperatura média na superfície do cilindro era de 120^{\circ} \mathrm{C}. Estimase que 10 \% da dissipação de potência sejam perdidos em função dos efeitos cumulativos da radiação na superficie e da condução pelos terminais nas extremidades do cilindro. Determine:
a) O coeficiente convectivo médio a partir das observações experimentais
b) Compare o resultado experimental com o coeficiente de transferência de calor calculado pelas equações de Zukauskas e de Churchill, e comente.
Dados:
Ar ( \mathrm{T}=25^{\circ} \mathrm{C} \approx 300 \mathrm{~K} )
\mathrm{v}=15.89 \times 10-6 \mathrm{~m} 2 \mathrm{~s}, \mathrm{k}=26.3 \times 10-3 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \mathrm{K}, \operatorname{Pr}=0.707 . \quad \operatorname{Ar}\left(\mathrm{Ts}=120^{\circ} \mathrm{C} \approx 400 \mathrm{~K}\right) :
\operatorname{Ar}(\mathrm{Tr}=80 \approx 350 \mathrm{~K})
\mathrm{v}=20.92 \times 10-6 \mathrm{~m} 2 \mathrm{~s}, \mathrm{k}=30 \times 10-3 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \mathrm{K}, \operatorname{Pr}=0.700.
\operatorname{Pr}=0.690,
Tabela 7.4
\begin{aligned} & \mathrm{n}=0,37 \\\ & \mathrm{~m}=0,6 \\\ & \mathrm{C}=0,26 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
a) Determinar o coeficiente convectivo médio experimental a partir dos dados medidos.
b) Comparar esse valor experimental com os valores calculados pelas correlações de Zukauskas e de Churchill e comentar a diferença.
Dados relevantes fornecidos (vou listar tudo explicitamente, com unidades):
\begin{aligned} &\text{Diâmetro do cilindro: } D=0{,}010\\ \mathrm{m} \\\ &\text{Comprimento do cilindro: } L=0{,}094\\ \mathrm{m} \\\ &\text{Velocidade do ar: } V=8\\ \mathrm{m/s} \\\ &\text{Temperatura do ar livre (ambiente): } T_\infty=25^\circ\mathrm{C} \\\ &\text{Temperatura média da superfície do cilindro: } T_s=120^\circ\mathrm{C} \\\ &\text{Potência elétrica dissipada: } P=40\\ \mathrm{W} \\\ &\text{Perdas por radiação e condução nas extremidades: }10\% \text{ da potência total} \\\ &\text{Logo, potência convectiva estimada: } Q_{\text{conv}}=0{,}9P=0{,}9\cdot40=36\\ \mathrm{W} \\\ &\text{Propriedades do ar próximas da temperatura filme fornecidas (usar T\_f aprox.): } \\\ &\quad \nu \approx 20{,}92\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s},\quad k\approx 30\times10^{-3}\\ \mathrm{W/(m\;K)},\quad \mathrm{Pr}\approx0{,}69 \end{aligned}âéíêéçãçãêêó
Observação importante para a resolução: vamos usar a temperatura de filme \displaystyle T_f=\frac{T_s+T_\infty}{2} para avaliar propriedades do ar (os dados fornecidos contêm valores próximos a essa temperatura). A diferença de temperatura para convecção é \Delta T = T_s-T_\infty.

Passo 2

Aula rápida e prática: balanço de energia para obter o coeficiente convectivo médio experimental.
  • Conceito: se uma potência Q_{\text{conv}} é removida da superfície por convecção, e assumindo temperatura superficial média T_s e ambiente T_\infty, o balanço convectivo é
Q_{\text{conv}}=\bar{h}\,A_s\,(T_s-T_\infty),
onde \bar{h} é o coeficiente convectivo médio que queremos, e A_s é a área através da qual ocorre a troca convectiva.
  • Explicando cada termo:
    • Q_{\text{conv}}: potência efetivamente removida por convecção (W).
    • \bar{h}: coeficiente convectivo médio (W/m^2K).
    • A_s: área externa do cilindro que está trocando calor (m^2). Para um cilindro (superfície lateral) sem contar as faces das extremidades usamos A_s=\pi D L.
    • \Delta T=T_s-T_\infty: gradiente térmico médio entre superfície e fluido.
Aplicação direta: isolar \bar{h}
\bar{h}=\frac{Q_{\text{conv}}}{A_s\,(T_s-T_\infty)}.

Passo 3

Cálculo da área superficial lateral do cilindro e da diferença de temperatura.
  • Área lateral:
A_s=\pi D L=\pi\cdot(0{,}010)\cdot(0{,}094)=\pi\cdot0{,}00094\\ \mathrm{m^2}.
Calcule numeric:
A_s\approx 3{,}1416\times0{,}00094=0{,}002953\\ \mathrm{m^2}.
  • Diferença de temperaturas:
\Delta T=T_s-T_\infty=120^\circ\mathrm{C}-25^\circ\mathrm{C}=95\\ \mathrm{K}.
(usar K ou °C é equivalente em diferença de temperatura.)

Passo 4

Cálculo do coeficiente convectivo médio experimental usando o balanço.
  • Usando Q_{\text{conv}}=36\\ \mathrm{W}, A_s e \Delta T:
\bar{h}=\frac{36}{0{,}002953\cdot95}.
Calcule o denominador:
0{,}002953\cdot95=0{,}280535\\ \mathrm{m^2\;K}.
Logo
\bar{h}=\frac{36}{0{,}280535}\approx128{,}4\\ \mathrm{W/(m^2\;K)}.
Interpretação curta: esse é o valor médio implícito pelos dados experimentais (já descontadas as perdas de 10%).

Passo 5

Agora vamos às correlações teóricas. Primeiro precisamos do número de Reynolds e do Prandtl no filme.
  • Definição e fórmula do número de Reynolds:
    • Conceito: \mathrm{Re} compara inércia e viscosidade do fluido; para cilindro em escoamento transversal usamos \displaystyle \mathrm{Re}=\frac{V D}{\nu}.
    • V=8\\ \mathrm{m/s}, D=0{,}01\\ \mathrm{m}, \nu=20{,}92\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.
\mathrm{Re}=\frac{8\cdot0{,}01}{20{,}92\times10^{-6}}=\frac{0{,}08}{2{,}092\times10^{-5}}\approx3825.
  • Prandtl (já fornecido para temperatura de filme):
\mathrm{Pr}\approx0{,}69.
Explicação: esses números colocam nosso caso na faixa de escoamento laminar/transição ao redor do cilindro (Re da ordem de 10^3), que é exatamente a faixa onde as correlações que usaremos são válidas.

Passo 6

Correlação de Zukauskas (forma simplificada usada para cilindros isolados/filas):
  • Forma usada (mesa de constantes dada no enunciado):
\mathrm{Nu}=C\,\mathrm{Re}^m\,\mathrm{Pr}^n\left(\frac{\mathrm{Pr}}{\mathrm{Pr}_s}\right)^{0{,}25},
onde \mathrm{Nu}=\dfrac{\bar{h}D}{k}. As constantes dadas pela Tabela 7.4 no enunciado são
C=0{,}26,\quad m=0{,}6,\quad n=0{,}37.
  • Observação didática: o fator (\mathrm{Pr}/\mathrm{Pr}_s)^{0{,}25} corrige a dependência de viscosidade próxima à superfície; como \mathrm{Pr} e \mathrm{Pr}_s são muito parecidos aqui, esse fator ficará próximo de 1.
Cálculo passo a passo:
\mathrm{Re}^{m}=3825^{0{,}6}\approx140{,}6,
\mathrm{Pr}^{n}=0{,}69^{0{,}37}\approx0{,}872,
\left(\frac{\mathrm{Pr}}{\mathrm{Pr}_s}\right)^{0{,}25}\approx1{,}00\quad(\text{usando }\mathrm{Pr}_s\approx0{,}70).
Logo
\mathrm{Nu}_{\text{Zuk}}=0{,}26\cdot140{,}6\cdot0{,}872\approx31{,}76.
Convertendo para \bar{h}:
\bar{h}_{\text{Zuk}}=\frac{\mathrm{Nu}_{\text{Zuk}}\;k}{D}=\frac{31{,}76\cdot0{,}03}{0{,}01}=95{,}3\\ \mathrm{W/(m^2\;K)}.

Passo 7

Correlação de Churchill–Bernstein (uma expressão empírica clássica válida em ampla faixa de \mathrm{Re} para cilindro isolado):
  • Fórmula (forma comum usada):
\mathrm{Nu}=0{,}3+\frac{0{,}62\,\mathrm{Re}^{1/2}\,\mathrm{Pr}^{1/3}}{\left[1+\left(\dfrac{0{,}4}{\mathrm{Pr}}\right)^{2/3}\right]^{1/4}}\left[1+\left(\dfrac{\mathrm{Re}}{282000}\right)^{5/8}\right]^{4/5}.
Explico: a primeira parcela \,0{,}3 assegura um limite mínimo; o termo com \mathrm{Re}^{1/2} e \mathrm{Pr}^{1/3} corresponde ao regime de convecção forçada; os fatores no denominador e no último colchete suavizam a dependência para valores extremos de \mathrm{Re} e \mathrm{Pr}.
Cálculo passo a passo (usando \mathrm{Re}=3825, \mathrm{Pr}=0{,}69):
\mathrm{Re}^{1/2}=\sqrt{3825}\approx61{,}86,
\mathrm{Pr}^{1/3}=0{,}69^{1/3}\approx0{,}884,
A=0{,}62\cdot61{,}86\cdot0{,}884\approx33{,}88,
B=\left[1+\left(\dfrac{0{,}4}{0{,}69}\right)^{2/3}\right]^{1/4}\approx1{,}1414,
C=\left[1+\left(\dfrac{3825}{282000}\right)^{5/8}\right]^{4/5}\approx1{,}0543.
Portanto
\mathrm{Nu}_{\text{Ch}}=0{,}3+\frac{33{,}88}{1{,}1414}\cdot1{,}0543\approx0{,}3+31{,}31\approx31{,}61.
E transformando em \bar{h}:
\bar{h}_{\text{Ch}}=\frac{\mathrm{Nu}_{\text{Ch}}\;k}{D}=\frac{31{,}61\cdot0{,}03}{0{,}01}=94{,}8\\ \mathrm{W/(m^2\;K)}.

Passo 8

Comparação numérica e comentário técnico-didático sobre a diferença:
  • Resultados calculados:
    • Valor experimental (a partir do balanço com 10% de perdas): \displaystyle \bar{h}_{\text{exp}}\approx128{,}4\\ \mathrm{W/(m^2\;K)}.
    • Zukauskas: \displaystyle \bar{h}_{\text{Zuk}}\approx95{,}3\\ \mathrm{W/(m^2\;K)}.
    • Churchill: \displaystyle \bar{h}_{\text{Ch}}\approx94{,}8\\ \mathrm{W/(m^2\;K)}.
  • Comentários didáticos sobre causas da discrepância (por que o experimental é maior que as correlações teóricas):
    1. Efeito das extremidades e condução axial: o cilindro tem razão de aspecto \displaystyle \frac{L}{D}=\frac{0{,}094}{0{,}01}=9{,}4, não é infinito; convecção nas proximidades das extremidades e condução axial para os terminais podem aumentar a perda de calor medida (ou a distribuição de temperatura), elevando o valor médio efetivo de h em relação à hipótese de cilindro “infinitamente longo” usada nas correlações.
    2. Condições de escoamento reais: as correlações assumem escoamento uniforme e regime médio; na prática pode haver turbulência local, estrangulamentos, presença do suporte do aquecedor, proximidade de testes (paredes) que intensificam a troca convectiva local.
    3. Incerteza na estimativa de perdas radiativas/condutivas: assumimos exatamente 10% de perdas extras. Se as perdas reais forem menores, a potência convectiva real seria maior do que 36 W e isso só aumentaria \bar{h}_{\text{exp}}; se forem maiores, a diferença diminuiria. Pequenas variações nesta suposição alteram bastante \bar{h}_{\text{exp}}.
    4. Propriedades termofísicas: usamos propriedades à temperatura de filme aproximada; erro nessa escolha afeta \mathrm{Re}, k e \mathrm{Pr}, mas aqui isso produziria apenas pequenas variações (não suficientes para explicar toda a diferença).
    5. Natureza das correlações: tanto Zukauskas quanto Churchill são empíricas e representam valores médios em condições típicas; diferenças de ~25–35% entre experimento e correlações são comuns em testes práticos, especialmente para geometrias finitas e condições de contorno reais.
Conclusão breve: as duas correlações preveem valores bem próximos entre si ( \approx95\\ \mathrm{W/(m^2K)}), mas ambos ficam significativamente abaixo do valor obtido experimentalmente ( \approx128\\ \mathrm{W/(m^2K)}). As razões prováveis são efeitos de extremidade, condições experimentais locais e incertezas na estimativa das perdas por radiação e condução.

Resposta

a) \bar{h}_{\text{exp}}\approx128{,}4\\ \mathrm{W/(m^2\;K)}
b) \bar{h}_{\text{Zuk}}\approx95{,}3\\ \mathrm{W/(m^2\;K)} ; \bar{h}_{\text{Ch}}\approx94{,}8\\ \mathrm{W/(m^2\;K)}. Comentário: os dois métodos teóricos dão valores muito parecidos (~95), inferiores ao experimental (~128). A discrepância pode ser explicada por efeitos de extremidade e condução axial, perturbações do escoamento no ensaio e incertezas na estimativa das perdas radiativas/condutivas.

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